Система с ограниченной длиной очереди . Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты каналов, остальные нет;
Заняты все каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди;
Заняты все n каналов, m заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 5.9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Многоканальная экспоненциальная СМО
отличается от одноканальной следующим. Число каналов в ней более одного. Приходящая заявка становится в очередь, если все каналы заняты. В противном случае заявка занимает свободный канал. 
(5.56)
Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (см.5.45)
Вероятность отказа . Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n каналов и все m мест в очереди:
(5.57)
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
(5.58)
Среднее число занятых каналов . Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(5.59)
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (5.50), (5.51)-(5.53)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди . Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена).
Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
(5.60)
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.
Среднее время пребывания заявки в системе , так же, как и для одноканальной СМО , отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
Системы с неограниченной длиной очереди .
Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул (5.56) предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при > 1. Допустив, что < 1 и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(5.61)
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):
а среднее время ожидания - из (5.60):
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
Усложнение структур и режимов реальных систем затрудняет применение классических методов теории массового обслуживания ввиду возрастающей размерности решаемых задач, что особенно характерно для систем с сетевой структурой. Одним из возможных путей преодоления размерности является использование моделей в форме сетей массового обслуживания (СеМО).
СеМО представляет собой совокупность конечного числа обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО . При этом отдельные СМО СМО − структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО , − составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).
В свою очередь, СеМО используют для определения важнейших системных характеристик информационных систем: производительности; времени доставки пакетов; вероятности потери сообщений и блокировки в узлах ; области допустимых значений нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания и др.
В теории СеМО фундаментальным является понятие состояния сети. Важнейшая характеристика сетей МО − вероятности их состояний. Для определения вероятностей состояний СеМО исследуют протекающий в сети случайный процесс. В качестве моделей протекающих в СеМО процессов также наиболее часто используют марковские и полумарковские.
3.3. Система массового обслуживания как модель
1.5. Сети массового обслуживания
Марковским процессом с непрерывным временем описывают функционирование экспоненциальных СеМО.
Сеть называется экспоненциальной, если входящие потоки требований в каждую СМО пуассоновские , а времена каждого этапа обслуживания, реализуемого на любой СМО сети, имеют экспоненциальное распределение. Это позволяет считать, что этапы обслуживания независимы между собой и не зависят ни от параметров входящего потока, ни от состояния сети, ни от маршрутов следования требований.
Теория экспоненциальных СеМО наиболее разработана, и ее широко применяют как для исследования сетей ПД так и для исследования мультипроцессорных вычислительных систем (ВС). Разработаны практические формулы расчета вероятностно-временных характеристик (ВВХ) таких сетей и систем.
Попытки глубокого анализа немарковских моделей сетевых систем наталкиваются на значительные трудности, которые обусловлены в частности отсутствием независимости длительностей пребывания требований в различных узлах моделей сетевых систем с нестандартными дисциплинами. Так, например, при достаточно реалистическом предположении о том, что длина требования остается постоянной в процессе его передачи через узлы сети, необходимо прослеживать путь каждого требования, что делает невозможным аналитический расчет характеристики для сети с числом узлов М>2.
Анализ работ, посвященных исследованию или расчету немарковских моделей, показывает, что решения, как правило, получены алгоритмически путем сложных численных расчетов с использованием преобразований Лапласа-Стилтьеса, реализуются программно, отличаются большой трудоемкостью, либо значительными погрешностями в оценке показателей производительности информационных систем (ИС) в области средней и большой нагрузки. Поэтому для моделирования СеМО, выходящих из класса мультипликативных, используют приближенные методы.
Сравнительный анализ приближенных методов моделирования СеМО и примеры, приведенные в показывают, что пользоваться приближенными методами расчета СеМО необходимо с большой осторожностью, что при расчете конкретных СеМО, в процессе решения различных прикладных задач представляется необходимым проведение исследований в целях оценки точности и чувствительности применяемого метода, а также проведение эксперимента по имитационному моделированию исходной СеМО для достаточно большого множества значений варьируемых параметров.
Аналитические методы расчета характеристик ИС базируются, как правило, на анализе экспоненциальных СеMO. При использовании этого математического аппарата удается получить аналитические модели для решения широкого круга задач исследования систем. CеМО − это, прежде всего, совокупность взаимосвязанных систем массового обслуживания. Поэтому необходимо вспомнить основные особенности этих систем.
Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность конечного числа N обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО (причем СМО может быть любого класса). При этом отдельные СМО отображают функционально самостоятельные части реальной системы, связи между СМО - структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО, - составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).
Для наглядного представления СеМО используется граф, вершины которого (узлы) соответствуют отдельным СМО , а дуги отображают связи между узлами.
Переход заявок между узлами происходит мгновенно в соответствии с переходными вероятностями 
, p ij
- вероятность того, что заявка после обслуживания в узле i
перейдет в узел j
. Естественно, если узлы непосредственно не связаны между собой, то p ij
= 0. Если из i-
го узла переход только в один какой-либо узел j
, то p ij
= 1.
СеМО классифицируют по нескольким признакам (рис. 4).
Сеть называется линейной , если интенсивности потоков заявок в узлах связаны между собой линейной зависимостью
l j = a ij l i ,
где a ij - коэффициент пропорциональности, или относительно источника
l j = a j l 0 ,.
Коэффициент a j называют коэффициентом передачи, он характеризует долю заявок, поступающих в j- й узел от источника заявок, либо - среднее число прохождений заявкой через данный узел за время нахождения заявки в сети.
Если интенсивности потоков заявок в узлах сети связаны нелинейной зависимостью (например, 
), то сеть называется нелинейной
..
Сеть всегда линейна, если в ней заявки не теряются и не размножаются.
Разомкнутая сеть – это такая отрытая сеть, в которую заявки поступают из внешней среды и уходят после обслуживания из сети во внешнюю среду. Другими словами, особенностью разомкнутой СеМО (РСеМО) является наличие одного или нескольких независимых внешних источников, которые генерируют заявки, поступающие в сеть, независимо от того, сколько заявок уже находится в сети. В любой момент времени в РСеМО может находиться произвольное число заявок (от 0 до ¥).
Рис. 4. Классификация сетей массового обслуживания
В замкнутой СеМО (ЗСеМО) циркулирует фиксированное число заявок, а внешний независимый источник отсутствует. Исходя из физических соображений, в ЗСеМ О выбирается внешняя дуга, на которой отмечается псевдонулевая точка, относительно которой могут измеряться временные характеристики.
Комбинированная сеть – это сеть, в которой постоянно циркулирует определенное число заявок и есть заявки, поступающие от внешних независимых источников.
В однородной сети циркулируют заявки одного класса. И, наоборот, в неоднородной сети могут присутствовать заявки нескольких классов. Заявки относятся к разным классам, если они различаются хотя бы одним из следующих атрибутов:
Законом распределения длительности обслуживания в узлах;
Приоритетами;
Маршрутами (путями движения заявок в сети).
В экспоненциальной сети длительности обслуживания во всех узлах распределены по экспоненциальному закону, и потоки, поступающие в разомкнутую сеть, простейшие (пуассоновские). Во всех остальных случаях сеть является неэкспоненциальной.
Если хотя бы в одном узле осуществляется приоритетное обслуживание, то это – приоритетная сеть. Приоритет – это признак, определяющий очередность обслуживания. Если обслуживание заявок в узлах осуществляется в порядке поступления, то такая сеть бесприоритетная.
Таким образом, экспоненциальной будем называть СеМО , отвечающую требованиям:
Входные потоки СеМО пуассоновские;
Во всех N СМО время обслуживания заявок имеет экспоненциальную функцию распределения вероятностей, и заявки обслуживаются в порядке прихода;
Переход заявки с выхода i -й СМО на вход j -й является независимым случайным событием, имеющим вероятность p ij ; p i0 - вероятность ухода заявки из CeМО.
Если заявки приходят в сеть и уходят из нее, то сеть называется разомкнутой. Если заявки не приходят в сеть и из нее не уходят, сеть называется замкнутой. Число заявок в замкнутой сети постоянное.
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей - абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа P отк. , среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L сист. - среднее число заявок системе; Т сист. - среднее время пребывания заявки в системе; L оч. - среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т оч. - среднее время пребывания заявки в очереди; Р зан.. - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).Одноканальная система с неограниченной очередью. На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - канал свободен; S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S k - канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди и т.д.
Граф состояний СМО представлен на рис. 8.
Рис. 8
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.
Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим (32)
Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
(33)
и с учетом соотношений (17)
найдем предельные вероятности других состояний
(34)
Предельные вероятности p 0 , p 1 , p 2 , …, p k ,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе L сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид
(35)
(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0p 0 =0).
Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду
(36)
Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Очевидно, что
(37)
где L об. - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
(38)
В силу (33)
(39)
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)
(40)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок,
т.е.
(41)
(42)
Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла.
Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих
ее:
оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.
На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:
(43)
а среднее время пребывания заявки в очереди
(44)
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
. Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ.
Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны;..., S k - занято k каналов, остальные свободны;..., S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S n+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....
Граф состояний системы показан на рис. 9. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания.
При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.
Рис. 9
Можно показать, что при r/n < 1 предельные вероятности существуют. Если r/n > 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (16) и (17) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
(45)
(46)
(47)
Вероятность того, что заявка окажется в очереди,
(48)
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:
среднее число занятых каналов
(49)
среднее число заявок в очереди
(50)
среднее число заявок в системе
(51)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (42) и (41).
Замечание.
Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена,
т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность
Q =
1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А =
l.
СМО с ограниченной очередью
СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.Очевидно: для вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован тот же подход, что и выше, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию (как, например, мы делали при выводе формулы (33)), а конечную.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определяем по формулам Литтла (44) и (43).
СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встречаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.
В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и размножения.
В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания , у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блокируется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.
Рассмотрим простейшую СМО с ожиданием - одноканальную систему , в которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом , т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.
Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
Канал свободен;
Канал занят, очереди нет;
Канал занят, одна заявка стоит в очереди;
Канал занят, заявок стоят в очереди;
Канал занят, т заявок стоят в очереди.
ГСП показан на рис. 5.8. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны , а справа налево - . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево - поток «освобождений» занятого канала, меющий интенсивность (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).
Рис. 5.8. Одноканальная СМО с ожиданием
Изображенная на рис. 5.8 схема представляет собой схему размножения и гибели. Используя общее решение (5.32)-(5.34), напишем выражения для предельных вероятностей состояний (см. также (5.40)):
или с использованием :
Последняя строка в (5.45) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р; откуда получаем:
в связи с чем предельные вероятности принимают вид:
Выражение (5.46) справедливо только при (при она дает неопределенность вида ). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем равна , и в этом случае
Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность , абсолютную пропускную способность , среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО
Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т мест в очереди тоже:
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
Средняя длина очереди. Найдем среднее число заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины - числа заявок, находящихся в очереди:
С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью - две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят заявок, и т. д., откуда:
Поскольку , сумму в (5.50) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:
Подставляя данное выражение в (5.50) и используя из (5.47), окончательно получаем:
Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью ), откуда:
и среднее число заявок, связанных с СМО, равно
Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т. д.
Если же , т. е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и заявок в очереди (вероятность этого ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:
если подставить сюда выражения для вероятностей (5.47), получим:
Здесь использованы соотношения (5.50), (5.51) (производная геометрической прогрессии), а также из (5.47). Сравнивая это выражение с (5.51), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим матожидание случайной величины - время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно, , в противном же случае
Пример 5.6. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).
Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно . Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.
Определить:
вероятность отказа;
относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;
среднее число машин, ожидающих заправки;
среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);
среднее время ожидания машины в очереди;
среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).
иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Находим вначале приведенную интенсивность потока заявок:
; 
.
По формулам (5.47):
Вероятность отказа .
Относительная пропускная способность СМО
.
Абсолютная пропускная способность СМО
машины в мин.
Среднее число машин в очереди находим по формуле (5.51)
т. е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.
Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием
получаем среднее число машин, связанных с АЗС.
Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (5.54)
Прибавляя к этой величине 
, получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:
Системы с неограниченным ожиданием . В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода в ранее полученных выражениях (5.44), (5.45) и т. п.
Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (5.45) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т. е. при .
Может быть доказано, что есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что .
Если , то соотношения (5.47) принимают вид:
При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому ,
Среднее число заявок в очереди получим из (5.51) при :
Среднее число заявок в системе по формуле (5.52) при
Среднее время ожидания получим из формулы
(5.53) при :
Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО есть
Многоканальная СМО с ожиданием
Система с ограниченной длиной очереди . Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты каналов, остальные нет;
Заняты все каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 5.9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Рис. 5.9. Многоканальная СМО с ожиданием
Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено (5.29)-(5.33). Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).
Таким образом, все вероятности состояний найдены.
Определим характеристики эффективности системы.
Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все каналов и все мест в очереди:
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (5.50), (5.51)-(5.53)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.
Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
Системы с неограниченной длиной очереди . Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул (5.56) предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при . Допустив, что и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):
а среднее время ожидания - из (5.60):
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
Пример 5.7. Автозаправочная станция с двумя колонками () обслуживает поток машин с интенсивностью (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.
Поскольку , очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (5.61) находим вероятности состояний:
Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания :
Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:
Среднее число машин в очереди:
Среднее число машин на АЗС:
Среднее время ожидания в очереди:
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:
Относительная пропускная способность равна:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых каналов
21. Многоканальная СМО с ожиданием
Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты каналов, остальные нет;
Заняты все каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди.
У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Среднее число занятых каналов. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
22. Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.
Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
23/24. Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при > 1. Допустив, что < 1 и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):
асреднее время ожидания - из (5.60):
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, раз ставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).
Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.
Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал;
Заняты два канала;
Заняты все n каналов; есть очередь:
Заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди и т. д.
Граф состояний и переходов системы показан на рис. 5.10.
Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех n каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна
Как видно из графа, имеет место схема размножения и гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения , запишем:
Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.
Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (присоответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).
Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы сходится при любых положительных значениях и .
Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла - каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.
Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:
На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться
заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:
Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :
Среднее число заявок в очереди. Соотношение (5.64) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (5.63). Из (5.64) получаем:
а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2, ..., n с вероятностями , :
25. Игры с противоположными интересами. Основные понятия. Платежная матрица.
Ситуация, в которой сталкиваются две или более сторон, преследующие различные цели, называется конфликтной. Одним из подходов к реализации оптимизационной мат. модели в условиях неопределенности, когда возникает конфликтная ситуация, является теорией игр.
Игра-мероприятие, состоящее из ряда действий сторон.
Правила игры есть совокупность системы условий, регламентирующих возможные варианты действий сторон, объема информации у каждой стороны о поведении другой, результатов, к которым приводят набор возможных вариантов действий. Игра состоит из ряда последовательных ходов.
Ход-есть выбор одного действия из предусмотренных правилами набора действий.
Стороны, участвующие в конфликте наз. игроками, а исход конфликта-проигрышем(выигрышем).
Стратегией наз. совокупность правил, определяющих выбор варианта при каждом ходе.
Оптимальной наз. стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш.
Стратегические игры моделируют конфликтные ситуации, в которых действуют не менее двух сторон, каждая из которых выступает со своими вариантами действий. Нестратегические игры моделируют конфликтные ситуации, когда либо действует одна сторона, либо существует коалиция сторон, все участники которой выступают с одним набором вариантов действий. Игра называется парной, если в ней участвуют ровно 2 игрока и множественной, если число игроков больше двух. Парная стратегия является антагонистической, если цели сторон прямопротивоположны. В этом случае выигрыш одного игрока является проигрышем другого. Конечные стратегии игры описывают конфликтную ситуацию, в которой все стороны имеют конечное число возможных вариантов действий. Если хотя бы одна сторона имеет бесконечное число вариантов, игра относится к классу бесконечных. При одноходовой игре, любая из сторон имеет по одному ходу. При многоходовой, делается более двух ходов.
Матричной игрой наз. стратегическая парная антагонистическая одноходовая игра с конечным числом вариантов действий у каждой из сторон.
Платежная матрица- статистический метод принятия решения, помогающий руководителю выбирать из возможных альтернатив.
| А, В | В 1 | В 2 | … | В n |
| А 1 | a 11 | a 12 | … | a 1n |
| А 2 | a 21 | a 22 | … | a 2n |
| … | … | … | … | … |
| А m | a m1 | a m2 | … | a mn |
Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы – стратегиям игрока B .
26. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.
В основе решения матричной игры лежит принцип минимакса или максимина, который состоит в том, что одна сторона оценивает целесообразность применения любой из своих стратегий, исходит из возможности наиболее неблагоприятного для себя ответного хода другой стороны.
Выбранная таким образом стратегия гарантирует одной стороне максимально возможный выигрыш (А) при самой неблагоприятной для него стратегии для любой стороны.
А: оценивает для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш αij..
αi= min αij i=1,m
βj= max αij j=1,n
α= max αi i=1,m
α= max min αij i=1,m, j=1,n –нижняя цена игры
β= min max αij i=1,m, j=1,n –верхняя цена игры
Стратегия игрока А, доставляющая максимальный выигрыш, называется максимальной стратегией. Стратегия В, доставляющая минимальной проигрыш, называется минимальной стратегией.
Величина υ=α=β наз. чистой ценой игры.
27. Игры с седловой точкой.
Элемент платежной матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, наз. седловой точкой.
При наличии у игры седловой точкой, любая из сторон, уклонившаяся от стратегии, выбранной в соответствии с принципом минимакса, обязательно потеряет эффективность, если только другая сторона придерживается при этом своей стратегии. Подобная ситуация наз. ситуацией равновесия.
При наличии седловой точки, решением игры является пара оптимальной стратегии (A * ij , B * ij), соответствующая этой точке.
Совокупность оптимальных стратегий наз. решением игры чистых стратегий.
1. Если А выбрал оптим. стратегию, то независимо от стратегии В, его выигрыш будет не меньше чистой цены игры.
2. Если В выбрал оптим. стратегию, то какой бы стратегии не придерживался бы А, выигрыш В не превысит чистой цены игры.
28. Решение игры в смешанных стратегиях. Активные стратегии. Теорема об активных стратегиях.
Рассмотрим α ≠β, α<β, α<υ<β.
В случае, если α ≠β, то у такой игры нет седловой точки В этом случае принцип минимакса или максимина не подходит.
(Решение игр 2х2)
Смешанные стратегии предполагают, что каждый игрок будет выбирать случайные из возможно допустимых чистых стратегий, либо частично реализовывать чистые стратегии в заданных пропорциях.
Активными называются те стратегии, которые доминируют над другими.
Рассмотрим игру 2хn
Наносим на оси цену игрока В.
Из самой высокой точки опускаем перпендикуляр.
Самая высокая точка нижней ломаной является точкой пересечения прямых, соответствующих активным стратегиям В*1 и В*2.
Таким образом исходная игра сокращается до игры 2х2.
Решаем игру и находим вероятности активных стратегий. Вероятности активных стратегий.
Вероятности пассивных стратегий приравниваем к нулю.
36. Игра 2*2.Аналитический и графический способы решения.
В общем случае игра 2 2 определяется матрицей
Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например 1) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой – только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией игрока 1 является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее, по свойству 1 следует, что а 11 = а 12 = и матрица имеет вид
Легко видеть, что для матриц такого вида одна из стратегий игрока 2 является доминируемой. Следовательно, по свойству 4 этот игрок имеет чистую стратегию, что противоречит предположению.
Пусть Х = (, 1 ) – оптимальная стратегия игрока 1. Так как игрок 2 имеет смешанную оптимальную стратегию, из свойства 1 получим, что (см. также свойство 7)
Отсюда следует, что при 0 столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид
и игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью 1 ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим
;
.
Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что оптимальная стратегия игрока 2 Y = ( , 1 - ) удовлетворяет системе уравнений
.
Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.
Первый случай.
Рассмотрим игру (2х2) с матрицей 
без седловой точки.
Решением игры являются смешанные стратегии игроков и , где
х 1 - вероятность применения первым игроком первой стратегии,
х 2 - вероятность применения первым игроком второй стратегии,
у 1 - вероятность применения вторым игроком первой стратегии,
у 2 - вероятность применения вторым игроком второй стратегии.
Очевидно, что
Найдем решение игры графическим методом (рис.1).
На оси ОХ отложим отрезок, длина которого равна единице.
Левый конец (х =
0) соответствует стратегии первого игрока А 1 ,
правый
(х =
1) - стратегии А 2 .
Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям
первого игрока, где
Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В 1 , то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А 1 и А 2 составит соответственно а 11 и а 21 . Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В 1 В 1 . Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке.
Аналогично строится отрезок В 2 В 2 , соответствующий стратегии В 2 игрока В.
Определение 20. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша , получаемого игроком А .
Определение 21. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями .
В игре (2х2) обе стратегии являются активными.
Ломаная В 1 КВ 2 является нижней границей выигрыша (рис. 2), получаемого игроком А. Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение.
Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений
Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что получим
(1)
(2)
Составляя аналогичную систему
и учитывая условие
можно найти оптимальную стратегию игрока В:
(3)
Если игра 2xn или mx2 не является игрой в чистых стратегиях, то необходимо попытаться уменьшить размер игры за счет дублирования и доминирования. Если же это не удается, то с помощью графо-аналитического метода выявить активные стратегии.
Замечание. Активной стратегией называются те стратегии, которые доминируют над другими(те, которые останутся после сокращения)
Рассмотрим игру 2xn
Решаем игру 2х2 и находим вероятности активых стратегий. Вероятностям пассивных стратегий присваиваем нули.
Рассмотрим игру mx2
| В1 | В2 | |
| А1 | a 11 | a 12 |
| А2 | a 21 | a 22 |
| … | ….. | …… |
| Аn | a m1 | a m2 |
Нижняя точка верхней ломаной соответствует активным стратегиям ai и aj.
После этого задача сводится к размеру 2х2 и решается способом упомянутом выше.
38. игры m x n сведение решения игры m x n к задаче линейного програмирования. Основная теорема теории игр.
Игра размера mxn не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко, но принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задаче линейного программирования.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга - не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель - познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.
Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживаний». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом.
В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания - показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином). В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.
Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.
1. n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга).
Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлангом. Задача ставится так: имеется каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью К. Поток обслуживаний имеет интенсивность (величина, обратная среднему времени обслуживания ). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:
А - абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Ротк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
к - среднее число занятых каналов.
Решение. Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):
В СМО нет ни одной заявки,
В СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),
В СМО находится к заявок каналов заняты, остальные свободны),
В СМО находится заявок (все каналов заняты).
Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф - проставим у стрелок интенсивности потоков событий, Из систему переводит поток заявок с интенсивностью X (как только приходит заявка, система перескакивает из ).
Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее, правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).
Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии (работает один канал). Он производит обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки интенсивность Теперь представим себе, что система находится в состоянии (работают два канала). Чтобы ей перейти в нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживаний равна проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность к каналами - Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.
А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:
Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для
Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности Яиц входят не по отдельности, а только в виде отношения Обозначим
и будем называть величину «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:
Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.
Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все каналов были заняты, значит,
Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:
Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок X на
Осталось только найти среднее число занятых каналов к. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями и вероятностями этих значений
Подставляя сюда выражения (20.5) для и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для к. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно
И какая доля каналов при этом будет простаивать?
Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и раеходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.
