МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
1. ОТБОР ФАКТОРОВ В МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
При построении модели множественной регрессии для отображения зависимости между объясняемой переменной Y и независимыми (объясняющими) переменнымиX 1 ,X 2 , …,X k могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции. Однако наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, когда факторы входят в модель линейно.
Линейная модель множественной регрессии имеет вид
где k – количество включенных в модель факторов.
Коэффициент регрессии a j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признакY , если переменнуюX j увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.
Анализ уравнения (1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения:
где Y – это вектор зависимой переменной размерности, представляющий собойn наблюдений значенийy i ;X – матрицаn наблюдений независимых переменныхX 1 , X 2 , …, X k , размерность матрицыX равна
; а - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров
Таким образом,
Уравнение (1) содержит значения неизвестных параметров
… . Эти величины оцениваются на основе выборочных
наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки.
Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид
Оценка параметров модели множественной регрессии проводится с помощью метода наименьших квадратов. Формулу для вычисления
параметров регрессионного уравнения приведем без вывода:
Отбор факторов, включаемых в регрессию – один из важнейших этапов построения модели регрессии. Подходы к отбору факторов могут быть разные: один из них основан на анализе матрицы коэффициентов парной корреляции, другой – на процедурах пошагового отбора факторов.
Перед построением модели множественной регрессии вычисляются парные коэффициенты линейной корреляции между всеми исследуемыми переменными Y ,X 1 , X 2 , …, X m , и из них формируется матрица
Вначале анализируют коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи зависимой переменной со всеми включенными в анализ факторами, с целью отсева незначимых переменных.
Затем переходят к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления мультиколлинеарности.
Ситуация, когда два фактора связаны между собой тесной линейной связью (парный коэффициент корреляции между ними превышает по абсолютной величине 0,8), называется коллинеарностью факторов . Коллинеарные факторы фактически дублируют друг друга в модели, существенно ухудшая ее качество.
Наибольшие трудности возникают при наличии мультикоминеарности факторов, когда тесной связью одновременно связаны несколько факторов, т.е. когда нарушается одна из предпосылок регрессионного анализа, состоящая в том, что объясняющие переменные должны быть независимы.
Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений. Мультиколлинеарность может
приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели;
стохастической , когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. В этом случае определитель матрицы не равен нулю, но очень мал. Экономическая интерпретация параметров уравнения регрессии при этом затруднена, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения. Оценки
параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.
Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания.
Существует несколько способов для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности:
анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Явление мультиколлинеарности в исходных данных считают установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8:
исследование матрицы. Если определитель матрицы близок к нулю, это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.
Для выявления второй ситуации служит тест на мультиколлинеарность Фаррара-Глоубера. С помощью этого теста проверяют, насколько значимо определитель матрицы парных коэффициентов корреляции отличается от единицы. Если он равен нулю, то столбцы матрицыX линейно зависимы и вычислить оценку коэффициентов множественной регрессии по методу наименьших квадратов становится невозможно.
Этот алгоритм содержит три вида статистических критериев проверки наличия мультиколлинеарности:
1) всего массива переменных (критерий «хи-квадрат»);
2) каждой переменной с другими переменными (F -критерий);
3) каждой пары переменных (t -тест).
2) Вычислить наблюдаемое значение статистики Фаррара-Глоубера по формуле
Эта статистика имеет распределение (хи-квадрат).
3) Фактическое значение -критерия сравнить с табличным значением
при 0,5k (k – 1) степенях свободы и уровне значимостиα . ЕслиFG набл больше табличного, то в массиве объясняющих переменных
существует мультиколлинеарность.
2. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой переменной другими переменными (F - критерий ):
где c ij – диагональные элементы матрицыC.
3) Фактические значения F -критериев сравнить с табличным значением
при v 1 =k ,v 2 =n – k – 1 степенях свободы и уровне значимостиα , гдеk
– количество факторов. Если F j >F табл , то соответствующая j -я независимая переменная мультиколлинеарна с другими.
3. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных (t -
тест).
1) Вычислить коэффициент детерминации для каждой переменной:
2) Найти частные коэффициенты корреляции:
где c ij - элемент матрицыС . содержащийся в i -й строке и j -м столбце;c ii иc jj – диагональные элементы матрицыС .
3) Вычислить t -критерии:
4) Фактические значения критериев t ij сравнить с табличнымt табл при (n –
мультиколлинеарность.
Разработаны различные методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности. Самый простой из них, но не всегда самый эффективный, состоит в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают исходя из экономических соображений.
Для устранения мультиколлинеарности можно также:
добавить в модель важный фактор для уменьшения дисперсии случайного члена;
изменить или увеличить выборку;
преобразовать мульти коллинеарные переменные и др.
Другой метод устранения или уменьшения мультиколлинеарности – использование стратегии шагового отбора, реализованной в ряде алгоритмов пошаговой регрессии.
Наиболее широкое применение получили следующие схемы построения уравнения множественной регрессии:
метод включения – дополнительное введение фактора;
метод исключения – отсев факторов из полного его набора.
В соответствии с первой схемой признак включается в уравнение в том случае, если его включение существенно увеличивает значение множественного коэффициента корреляции. Это позволяет последовательно отбирать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак даже в условиях мультиколлинеарности системы признаков, отобранных в качестве аргументов. При этом первым в уравнение включается фактор, наиболее тесно коррелирующий сY вторым – тот фактор, который в паре с первым из отобранных дает максимальное значение множественного коэффициента корреляции, и т.д. Существенно, что на каждом шаге получают новое значение множественного коэффициента (большее, чем на предыдущем шаге); тем самым определяется вклад каждого отобранного фактора в объясненную дисперсиюY.
Вторая схема пошаговой регрессии основана на последовательном исключении факторов с помощью t -критерия. Она заключается в том, что после построения уравнения регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее по модулю значение t -критерия. После этого получают новое уравнение множественной регрессии и снова производят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Если и среди них окажутся незначимые, то опять исключают фактор с наименьшим значением t -критерия. Процесс исключения факторов останавливается на том шаге, при котором все регрессионные коэффициенты значимы.
Ни одна из этих процедур не гарантирует получения оптимального набора переменных. Однако при практическом применении они позволяют получить достаточно хорошие наборы существенно влияющих факторов.
Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F -критерий меньше табличного значения.
2. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Качество модели регрессии проверяется на основе анализа остатков регрессии ε. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод опенки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые (в действительности – почти независимые) одинаково распределенные случайные величины.
Исследование полезно начинать с изучения графика остатков. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости междуY иX график
остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.
График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения – выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как они могут грубо искажать значения оценок. Чтобы устранить эффект выбросов, надо либо удалить эти точки из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо применять методы оценивания параметров, устойчивые к подобным грубым отклонениям.
Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:
проверка качества уравнения регрессии;
проверка значимости уравнения регрессии;
анализ статистической значимости параметров модели;
проверка выполнения предпосылок МНК.
Для проверки качества уравнения регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R и коэффициент детерминацииR 2 . Чем ближе к единице значения этих характеристик, тем выше качество модели.
Множественный регрессионный анализ является расширением парного регрессионного анализа. О применяется в тех случаям, когда поведение объясняемой, зависимой переменной необходимо связать с влиянием более чем одной факторной, независимой переменной. Хотя определенная часть многофакторного анализа представляет собой непосредственное обобщение понятий парной регрессионной модели, при выполнении его может возникнуть ряд принципиально новых задач.
Так, при оценке влияния каждой независимой переменной необходимо уметь разграничивать ее воздействие на объясняемую переменную от воздействия других независимых переменных. При этом множественный корреляционный анализ сводится к анализу парных, частных корреляций. На практике обычно ограничиваются определением их обобщенных числовых характеристик, таких как частные коэффициенты эластичности, частные коэффициенты корреляции, стандартизованные коэффициенты множественной регрессии.
Затем решаются задачи спецификации регрессионной модели, одна из которых состоит в определении объема и состава совокупности независимых переменных, которые могут оказывать влияние на объясняемую переменную. Хотя это часто делается из априорных соображений или на основании соответствующей экономической (качественной) теории, некоторые переменные могут в силу индивидуальных особенностей изучаемых объектов не подходить для модели. В качестве наиболее характерных из них можно назвать мультиколлинеарность или автокоррелированность факторных переменных.
3.1. Анализ множественной линейной регрессии с помощью
метода наименьших квадратов (МНК)
В данном разделе полагается, что рассматривается модель регрессии, которая специфицирована правильно. Обратное, если исходные предположения оказались неверными, можно установить только на основании качества полученной модели. Следовательно, этот этап является исходным для проведения множественного регрессионного анализа даже в самом сложном случае, поскольку только он, а точнее его результаты могут дать основания для дальнейшего уточнения модельных представлений. В таком случае выполняются необходимые изменения и дополнения в спецификации модели, и анализ повторяется после уточнения модели до тех пор, пока не будут получены удовлетворительные результаты.
На любой экономический показатель в реальных условиях обычно оказывает влияние не один, а несколько и не всегда независимых факторов. Например, спрос на некоторый вид товара определяется не только ценой данного товара, но и ценами на замещающие и дополняющие товары, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае вместо парной регрессии M (Y / Х = х ) = f (x ) рассматривается множественная регрессия
M (Y / Х1 = х1, Х2 = х2, …, Хр = Хр ) = f (x 1 , х 2 , …, х р ) (2.1)
Задача оценки статистической взаимосвязи переменных Y и Х 1 , Х 2 , ..., Х Р формулируется аналогично случаю парной регрессии. Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде
Y = f (B , X ) + 2
где X - вектор независимых (объясняющих) переменных; В - вектор параметров уравнения (подлежащих определению); - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
Предполагается, что для данной генеральной совокупности именно функция f связывает исследуемую переменную Y с вектором независимых переменных X .
Рассмотрим самую употребляемую и наиболее простую для статистического анализа и экономической интерпретации модель множественной линейной регрессии. Для этого имеются, по крайней мере, две существенные причины.
Во-первых, уравнение регрессии является линейным, если система случайных величин (X 1 , X 2 , ..., Х Р , Y ) имеет совместный нормальный закон распределения. Предположение о нормальном распределении может быть в ряде случаев обосновано с помощью предельных теорем теории вероятностей. Часто такое предположение принимается в качестве гипотезы, когда при последующем анализе и интерпретации его результатов не возникает явных противоречий.
Вторая причина, по которой линейная регрессионная модель предпочтительней других, состоит в том, что при использовании ее для прогноза риск значительной ошибки оказывается минимальным.
Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:
или для индивидуальных наблюдений с номером i :
где i = 1, 2, ..., п.
Здесь В = (b 0 , b 1 ,b Р) - вектор размерности (р+1) неизвестных параметров b j , j = 0, 1, 2, ..., р , называется j -ым теоретическим коэффициентом регрессии (частичным коэффициентом регрессии). Он характеризует чувствительность величины Y к изменению X j . Другими словами, он отражает влияние на условное математическое ожидание M (Y / Х1 = х1, Х2 = х2, …, Хр = x р ) зависимой переменной Y объясняющей переменной Х j при условии, что все другие объясняющие переменные модели остаются постоянными. b 0 - свободный член, определяющий значение Y в случае, когда все объясняющие переменные X j равны нулю.
После выбора линейной функции в качестве модели зависимости необходимо оценить параметры регрессии.
Пусть имеется n наблюдений вектора объясняющих переменных X = (1 , X 1 , X 2 , ..., Х Р ) и зависимой переменной Y :
(1 , х i1 , x i2 , …, x ip , y i ), i = 1, 2, …, n.
Для того чтобы однозначно можно было бы решить задачу отыскания параметров b 0 , b 1 , … , b Р (т.е. найти некоторый наилучший вектор В ), должно выполняться неравенство n > p + 1 . Если это неравенство не будет выполняться, то существует бесконечно много различных векторов параметров, при которых линейная формула связи между X и Y будет абсолютно точно соответствовать имеющимся наблюдениям. При этом, если n = p + 1 , то оценки коэффициентов вектора В рассчитываются единственным образом - путем решения системы p + 1 линейного уравнения:
где i = 1, 2, ..., п.
Например, для однозначного определения оценок параметров уравнения регрессии Y = b о + b 1 X 1 + b 2 X 2 достаточно иметь выборку из трех наблюдений (1 , х i 1 , х i 2 , y i), i = 1, 2, 3. В этом случае найденные значения параметров b 0 , b 1 , b 2 определяют такую плоскость Y = b о + b 1 X 1 + b 2 X 2 в трехмерном пространстве, которая пройдет именно через имеющиеся три точки.
С другой стороны, добавление в выборку к имеющимся трем наблюдениям еще одного приведет к тому, что четвертая точка (х 41 , х 42 , х 43 , y 4) практически всегда будет лежать вне построенной плоскости (и, возможно, достаточно далеко). Это потребует определенной переоценки параметров.
Таким образом, вполне логичен следующий вывод: если число наблюдений больше минимально необходимой величины, т.е. n > p + 1 , то уже нельзя подобрать линейную форму, в точности удовлетворяющую всем наблюдениям. Поэтому возникает необходимость оптимизации, т.е. оценивания параметров b 0 , b 1 , …, b Р , при которых формула регрессии дает наилучшее приближение одновременно для всех имеющихся наблюдений.
В данном случае число = n - p - 1 называется числом степеней свободы. Нетрудно заметить, что если число степеней свободы невелико, то статистическая надежность оцениваемой формулы невысока. Например, вероятность надежного вывода (получения наиболее реалистичных оценок) по трем наблюдениям существенно ниже, чем по тридцати. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений превосходило число оцениваемых параметров, по крайней мере, в 3 раза.
Прежде чем перейти к описанию алгоритма нахождения оценок коэффициентов регрессии, отметим желательность выполнимости ряда предпосылок МНК, которые позволят обосновать характерные особенности регрессионного анализа в рамках классической линейной многофакторной модели.
4.1. Матричная форма регрессионной модели
Экономическое явление определяется большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. Модель множественной регрессии запишется так:
Модель линейной множественной регрессии можно записать в матричной форме, имея в виду, что коэффициенты α и β заменены их оценками.
Матрица X T X – неособенная и её ранг равен её размеру, то есть (р +1).
4.2. Отбор факторов для моделей множественной регрессии
Факторы, включаемые в модель, должны существенным образом объяснить вариацию результативной переменной.
Существует ряд способов отбора факторов, наибольшее распространение из которых имеют метод короткой регрессии и метод длинной регрессии.
При использовании метода короткой регрессии в начале в модель включают только наиболее важные факторы с экономически содержательной точки зрения.
С этим набором факторов строится модель и для неё определяются показатели качества ESS , R 2 , F , t a , t bj . Затем в модель добавляется следующий фактор и вновь строится модель. Проводится анализ, улучшилась или ухудшилась модель по совокупности критериев. При этом возможно появление парето – оптимальных альтернатив.
Метод длинной регрессии предполагает первоначальное включение в модель всех подозрительных на существенность факторов. Затем какой-либо фактор исключают из модели и анализируют изменение её качества. Если качество улучшится, фактор удаляют и наоборот. При отборе факторов следует обращать внимание на наличие интеркорреляции и мультиколлинеарности.
Сильная корреляция между двумя факторами (интеркорреляция) не позволяет выявить изолированное влияние каждого из них на результативную переменную, то есть затрудняется интерпретация параметров регрессии и они утрачивают истинный экономический смысл. Оценки значений этих параметров становятся ненадёжными и будут иметь большие стандартные ошибки. При изменении объёма наблюдений они могут сильно изменяться, причём не только по величине, но даже и по знаку.
Мультиколлинеарность – явление, когда сильной линейной зависимостью связаны более двух переменных; она приводит к тем же негативным последствиям, о которых только что было сказано. Поэтому, при отборе факторов следует избегать наличия интеркорреляции и, тем более, мультиколлинеарности.
Для обнаружения интеркорреляции и мультиколлинеарности можно использовать анализ матрицы парных коэффициентов корреляции [r (п) ], матрицы межфакторной корреляции [r (11) ] и матрицы частных коэффициентов корреляции [r (ч) ].
Для исключения одного из двух сильно коррелирующих между собой факторов можно руководствоваться таким соображением: из модели бывает целесообразно убрать не тот фактор, который слабее связан с y , а тот, который сильнее связан с другими факторами. Это приемлемо, если связь с y для обоих факторов приблизительно одинакова. При этом возможно наличие парето – оптимальных альтернатив и тогда следует рассмотреть иные аргументы в пользу того или иного фактора.
Матрица [r (11) ] – получается путём вычёркивания первого столбца и первой строки из матрицы [r (п) ].
Матрица [r (11) ] – квадратная и неособенная, ее элементы вычисляются так:
Представляется интересным исследовать определитель det [r (11) ].
Если есть сильная мультиколлинеарность, то почти все элементы этой матрицы близки к единице и det → 0. Если все факторы практически независимы, то в главной диагонали будут стоять величины, близкие к единице, а прочие элементы будут близки к нулю, тогда det→1.
Таким образом, численное значение det [r (11) ] позволяет установить наличие или отсутствие мультиколлинеарности. Мультиколлинеарность может иметь место вследствие того, что какой-либо фактор является линейной (или близкой к ней) комбинацией других факторов.
Для выявления этого обстоятельства можно построить регрессии каждой объясняющей переменной на все остальные. Далее вычисляются соответствующие коэффициенты детерминации
и рассчитывается статистическая значимость каждой такой регрессии по F –статистике:
Критическое значение F определяется по таблице для назначенного уровня значимости γ (вероятности отвергнуть верную гипотезу Н 0 о незначимости R 2), и числа степеней свободы df 1 = p –1, df 2 = n –1.
Оценку значимости мультиколлинеарности можно также произвести путём проверки гипотезы об её отсутствии: Н
0: det [r
(11) ] =1. Доказано, что величина: 
приближённо имеет распределение Пирсона: Если вычисленное значение χ
2 превышает табличное значение для назначенного γ
и df
= n
(n
–1)/2, то гипотеза Н
0 отклоняется и мультиколлинеарность считается установленной.
Парные коэффициенты корреляции не всегда объективно показывают действительную связь между факторами. Например, факторы могут по существу явления не быть связаны между собой, но смещаться в одну сторону под влиянием некоторого стороннего фактора, не включенного в модель. Довольно часто таким фактором выступает время. Поэтому включение (если это возможно) в модель переменной t иногда снижает степень интеркорреляции и мультиколлинеарности. Более адекватными показателями межфакторной корреляции являются частные коэффициенты корреляции. Они отражают тесноту статистической связи между двумя переменными при элиминировании влияния других факторов.
Здесь b 1 будет являться несмещенной оценкой параметра β 1 , а b 2 будет несмещенной оценкой нуля (при выполнении условий Гаусса-Маркова).
Утрата эффективности в связи с включением x 2 в случае, когда она не должна быть включена, зависит от корреляции между x 1 и x 2 .
Сравним (см. табл. 4.1).
Основной целью множественной регрессии является построение модели с большим числом факторов и определение при этом влияния каждого из факторов в отдельности на результат, а так же определение совокупного воздействия факторов на моделированный показатель.
Спецификация модели множественной регрессии включает в себя отбор фактора и выбор вида математической функции (выбор вида уравнения регрессии). Факторы, включаемые во множественную регрессию должны быть количественно измеримы и не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи (т.е. должны в меньшей степени влиять друг на друга, а в большей степени на результативный признак).
Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснять вариацию независимой переменной. Например, если строится модель с набором - факторов, то для нее находится значение показателя детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет - факторов.
Влияние других неучтенных факторов в модели оценивается как соответствующей остаточной дисперсии .
При включении в модель дополнительного фактора значение показателя детерминации должно возрастать, а значение остаточной дисперсии должно уменьшиться. Если этого не происходит, то дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним, причем введение такого фактора может привести к статистической не значимости параметров регрессии по - критерию Стьюдента.
Отбор факторов для множественной регрессии осуществляется в две стадии:
1. Подбираются факторы, исходя из сущности проблемы.
2. На основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.
Коэффициенты корреляции между объясняющими переменными , которые еще называют коэффициентами интеркорреляции, позволяют исключить из модели дублирующие факторы.
Две переменные и называют явно коллинеарными, если коэффициент корреляции .
Если переменные явно коллинеарны, то они находятся в сильной линейной зависимости.
При наличии явно коллинеарных переменных предпочтение отдается не фактору более тесно связанному с результатом, а фактору, который при этом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.
По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллениарность факторов.
При использовании множественной регрессии может возникнуть мультиколлениарность фактов, т.е. более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью. В таких случаях менее надежным становится МНК при оценке отдельных факторов, результатом чего становится затруднение интерпретации параметров множественной регрессии как характеристик действия фактора в чистом виде. Параметры линейной регрессии теряют экономический смысл, оценки параметров ненадежны, возникают большие стандартные ошибки, которые при этом могут изменяться с изменением объема наблюдений, т.е. модель становится непригодной для анализа и прогнозирования экономической ситуации. Для оценки мультиколлениарности фактора используют следующие методы:
1. Определение матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами, например, если задана линейная модель множественной регрессии , то определитель матрицы парных коэффициентов примет вид:
Если значение данного определителя равно 1
,
то факторы являются неколлинеарными между собой.
Если между факторами существует полная линейная зависимость, то все коэффициенты парной корреляции равны 1, в результате чего
.
2. Метод испытания гипотезы о независимости переменных. В этом случае нулевая гипотеза , доказано, что величина 
имеет приближенное распределение с числом степеней свободы .
Если 
, то нулевая гипотеза отклоняется.
Определяя и сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации фактора, используя в качестве зависимой переменной последовательно каждой из факторов можно определить факторы, ответственные за мультиколлениарность, т.е. фактор с наибольшим значением величины .
Существуют следующие способы преодоления сильной межфакторной корреляции:
1) исключение из модели одного или несколько данных;
2) преобразование факторов для уменьшения корреляции;
3) совмещение уравнения регрессии, которые будут отражать не только факторы, но и их взаимодействие;
4) переход уравнения приведенной формы и др.
При построении уравнения множественной регрессии одним из важнейших этапов является отбор факторов, включаемых в модель. Различные подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции к различным методам, среди которых наиболее применимы:
1) Метод исключения – производится отсев данных;
2) Метод включения – вводят дополнительный фактор;
3) Шаговый регрессионный анализ – исключают ранее введенный фактор.
При отборе факторов применяют следующее правило: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится модель.
Параметр не подлежит экономической интерпретации. В степенной модели нелинейное уравнение множественной регрессии коэффициенты , ,…, являются коэффициентами эластичности, которые показывают насколько, в среднем, изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1% при неизменном воздействии остальных факторов.
В предыдущих разделах было упомянуто о том, что вряд ли выбранная независимая переменная является единственным фактором, который повлияет на зависимую переменную. В большинстве случаев мы можем идентифицировать более одного фактора, способного влиять каким-то образом на зависимую переменную. Так, например, разумно предположить, что расходы цеха будут определяться количеством отработанных часов, использованного сырья, количеством произведенной продукции. По видимому, нужно использовать все факторы, которые мы перечислили для того, чтобы предсказать расходы цеха. Мы можем собрать данные об издержках, отработанном времени, использованном сырье и т.д. за неделю или за месяц Но мы не сможем исследовать природу связи между издержками и всеми другими переменными посредством корреляционной диаграммы. Начнем с предположений о линейной связи, и только если это предположение будет неприемлимо, попробуем использовать нелинейную модель. Линейная модель для множественной регрессии:
Вариация у объясняется вариацией всех независимых переменных, которые в идеале должны быть независимы друг от друга. Например, если мы решим использовать пять независимых переменных, то модель будет следующей:
Как и в случае простой линейной регрессии мы получаем по выборке оценки и т.д. Наилучшая линия для выборки:
Коэффициент а и коэффициенты регрессии вычисляются с помощью минимальности суммы квадратов ошибок Для дальнейшего регрессионной модели используют следующие предположения об ошибка любого данного
2. Дисперсия равна и одинакова для всех х.
3. Ошибки независимы друг от друга.
Эти предположения те же, что и в случае простой регрессии. Однако в случае они ведут к очень сложным вычислениям. К счастью, выполня вычисления, позволяя нам сосредоточиться на интерпретации и оценке торной модели. В следующем разделе мы определим шаги, которые необх предпринять в случае множественной регрессии, но в любом случае мы полагаться на компьютер.
ШАГ 1. ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
Первый шаг обычно предполагает обдумать, как зависимая переменная быть связана с каждой из независимых переменных. Нет смысла нительные переменные х, если они не дают возможность объяснения вариа Вспомним, что наша задача состоит в объяснить вариацию изменения независимой переменкой х. Нам необходимо рассчитать коэффид корреляции для всех пар переменных при условии независимости наблк друг от друга. Это даст нам возможность определить, связаны х с у линей! же нет, независимы ли между собой. Это важно в множественной регр Мы можем вычислить каждый из коэффициентов корреляции, как пока: разделе 8.5, чтобы посмотреть, насколько их значения отличны от нуля нужно выяснить, нет ли высокой корреляции между значениями незавю переменных. Если мы обнаружим высокую корреляцию, например, между х то маловероятно, что обе эти переменные должны быть включены в оконч модель.
ШАГ 2. ОПРЕДЕНИЕ ВСЕХ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ МОДЕЛ
Мы можем исследовать линейную связь между у и любой комбинацией переменных. Но модель имеет силу только в том случае, если значимая линейная связь между у и всеми х и если каждый коэффи регрессии значимо отличен от нуля.
Мы можем оценить значимость модели в целом, используя того, мы должны использовать -критерий для каждого коэффициента регр чтобы определить, значимо ли он отличен от нуля. Если коэффициент сии не значимо отличается от нуля, то соответствующая независимая перем не помогает в прогнозе значения у и модель не имеет силы.
Полная процедура заключается в том, чтобы установить множествениу нейную регрессионную модель для всех комбинаций независимых переме. Оценим каждую модель, используя F-критерий для модели в целом и -кри для каждого коэффициента регрессии. Если F-критерий или любой из -кря! незначимы, то эта модель не имеет силы и не может быть использована.
модели исключаются из рассмотрения. Этот процесс занимает очень много времени. Например, если у нас имеются пять независимых переменных, то возможно построение 31 модели: одна модель со всеми пятью переменными, пять моделей, включающие четыре из пяти переменных, десять - с тремя переменными, десять - с двумя переменными и пять моделей с одной.
Можно получить множественную регрессию не исключая последовательно независимые переменные, а расширяя их круг. В в этом случае мы начинаем с построения простых регрессий для каждой из независимых переменных поочередно. Мы выбираем лучшую из этих регрессий, т.е. с наивысшим коэффициентом корреляции, затем добавляем к этому, наиболее приемлемому значению переменной у вторую переменную. Этот метод построения множественной регрессии называется прямым.
Обратный метод начинается с исследования модели, включающей все независимые переменные; в нижеприведенном примере их пять. Переменная, которая дает наименьший вклад в общую модель, исключается из рассмотрения, остается только четыре переменных. Для этих четырех переменных определяется линейная модель. Если же эта модель не верна, исключается еще одна переменная, дающая наименьший вклад, остается три переменных. И этот процесс повторяется со следующими переменными. Каждый раз, когда исключается новая переменная, нужно проверять, чтобы значимая переменная не была удалена. Все эти действия нужно производить с большим вниманием, так как можно неосторожно исключить нужную, значимую модель из рассмотрения.
Не важно, какой именно метод используется, может быть несколько значимых моделей и каждая из них может иметь огромное значение.
ШАГ 3. ВЫБОР ЛУЧШЕЙ МОДЕЛИ ИЗ ВСЕХ ЗНАЧИМЫХ МОДЕЛЕЙ
Эта процедура может бьгть рассмотрена с помощью примера, в котором определились три важнейших модели. Первоначально было пять независимых переменных но три из них - - исключены из всех моделей. Эти переменные не помогают в прогнозировании у.
Поэтому значимыми моделями оказались:
Модель 1: у прогнозируется только
Модель 2: у прогнозируется только
Модель 3: у прогнозируется вместе.
Для того, чтобы сделать выбор из этих моделей, проверим значения коэффициента корреляции и стандартного отклонения остатков Коэффициент множественной корреляции - есть отношение "объясненной" вариации у к общей вариации у и вычисляется так же, как и коэффициент парной корреляции для простой регрессии при двух переменных. Модель, которая описывает связь между у и несколькими значениями х, имеет множественный коэффициент корреляции который близок к и значение очень мало. Коэффициент детерминации который часто предлагается в ППП, описывает процент изменяемости у, которая обменяется моделью. Модель имеет значение в том случае, когда близко к 100%.
В данном примере мы просто выбираем модель с наибольшим значением и наименьшим значением Предпочтительной моделью оказалась модель следующем шаге необходимо сравнить модели 1 и 3. Различие между этими моделями состоит во включении переменной в модель 3. Вопрос в том повышает ли значительно точность предсказания значения у или же нет! Следующий критерий поможет ответить нам на этот вопрос - это частный F-критерий. Рассмотрим пример, иллюстрирующий всю процедуру построения множественной регрессии.
Пример 8.2. Руководство большой шоколадной фабрики заинтересовано в построении модели для того, чтобы предсказать реализацию одной из своих уже долго существующих торговых марок. Были собраны следующие данные.
Таблица 8.5. Построение модели для прогноза объема реализации (см. скан)
Для того чтобы модель была полезной и имела силу, мы должны отвергнуть Но и принять Значение F-критерия есть соотношение двух величин, описанных выше:
Этот критерий с одним хвостом (односторонний), потому, что средний квадрат, обусловленный регрессией, должен быть больше, чтобы мы могли принять . В предыдущих разделах, когда мы использовали F-критерий, критерии были двусторонние, так как во главу угла ставилось большее значение вариации, каким бы оно ни было. В регрессионном анализе нет выбора - наверху (в числителе) всегда вариация у по регрессии. Если она меньше, чем вариация по остаточной величине, мы принимает Но, так как модель не объясняет изменений у. Это значение F-критерия сравнивается с табличным:
Из таблиц стандартного распределения F-критерия:
В нашем примере значение критерия:
Поэтому мы получили результат с высокой достоверностью.
Проверим каждое из значений коэффициентов регрессии. Предположим, что компьютер сосчитал все необходимые -критерии. Для первого коэффициента гипотезы формулируются так:
Время не помогает объяснить изменение продаж при условии, что остальные переменные присутствуют в модели, т.е.
Время дает существенный вклад и должно быть включено в модель, т. е.
Проведем испытание гипотезы на -ном уровне, пользуясь двусторонним -критерием при:
Граничные значения на данном уровне:
Значение критерия:
Рассчитанные значения -критерия должны лежать вне указанных границ для того, чтобы мы смогли отвергнуть гипотезу
Рис. 8.20. Распределение остатков для модели с двумя переменными
Оказалось восемь ошибок с отклонениями 10% или более от фактического объема продаж. Наибольшая из них - 27%. Будет ли размер ошибки принят компанией при планировании деятельности? Ответ на этот вопрос будет зависеть от степени надежности других методов.
8.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗИ
Вернемся к ситуации, когда у нас всего две переменные, но связь между ними нелинейная. На практике многие связи между переменными являются криволинейными. Например, связь может быть выражена уравнением:
Если связь между переменными сильная, т.е. отклонение от криволинейной модели относительно небольшое, то мы сможем догадаться о природе наилучшей модели по диаграмме (полю корреляции). Однако трудно применить нелинейную модель к выборочной совокупности. Было бы легче, если бы мы могли манипулировать нелинейной моделью в линейной форме. В первых двух записанных моделях функциям могут быть присвоены разные имена, и тогда будет использоваться множественная модель регрессии. Например, если модель:
лучше всего описывает связь между у и х, то перепишем нашу модель, используя независимые переменные
Эти переменные рассматриваются как обыкновенные независимые переменные, даже если мы знаем, что и х не могут быть независимы друг от друга. Лучшая модель выбирается так же, как и в предыдущем разделе.
Третья и четвертая модели рассматриваются по-другому. Тут мы уже встречаемся с необходимостью так называемой линейной трансформации. Например, если связь
то на графике это будет изображено кривой линией. Все необходимые действия могут быть представлены следующим образом:
Таблица 8.10. Расчет
Рис. 8.21. Нелинейная связь
Линейная модель, при трансформированной связи:
Рис. 8.22. Линейная трансформация связи
В общем, если исходная диаграмма показывает, что связь может быть изображена в форме: то представление у против X, где определит прямую линию. Воспользуемся простой линейной регрессией для установления модели: Рассчитанные значения а и - лучшие значения а и (5.
Четвертая модель, приведенная выше, включает трансформацию у с использованием натурального логарифма:
Взяв логарифмы по обеих сторон уравнения, получим:
поэтому: где
Если , то - уравнение линейной связи между Y и х. Пусть - связь между у и х, тогда мы должны трансформировать каждое значение у взятием логарифма по е. Определяем простую линейную регрессию по х для того, чтобы найти значения А и Антилогарифм записан ниже.
Таким образом, метод линейной регрессии может быть применен к нелинейным связям. Однако в этом случае требуется алгебраическое преобразование при записи исходной модели.
Пример 8.3. Следующая таблица содержит данные об общем годовом объеме производства промышленной продукции в определенной стране за период
