Метод условной оптимизации.
Этот метод, также как и метод суперкритерия, предполагает, что критерии не равнозначны. Мы можем выбрать самый значимый для нас критерий, но не можем оценить вес каждого критерия численно (не можем сказать, сколько рублей стоит 1 час). В этом случае в качестве единственного критерия мы оставляем самый значимый для нас критерий, а остальные критерии считаем ограничениями (условиями). Далее различают два случая введения ограничений: типа равенств и типа неравенств. Первый случай проще осуществляется технически, но менее адекватен реальности. Второй более адекватен реальности, но труднее осуществляется технически.
Пример . Как и в предыдущем примере будем выбирать лучший подарок по двум критериям: q 1 - цена подарка, главный критерий; q 2 - время, затрачиваемое на его приобретение. Допустим, что цена первого, второго и третьего соответственно 300 руб., 350 руб. и 400 руб.; время, затрачиваемое на их приобретение, 2 часа, 1 час и 30 мин.
Рассмотрим случай ограничений типа равенств . Зададим ограничение по времени (так как это не главный для нас критерий): время, затрачиваемое на приобретение подарка q 2 = 1 час. 20 мин. Выберем теперь из всех подарков такие, у которых q 2 = 1 час. 20 мин. Видим, что таких подарков в нашем списке нет. Таким образом, далее мы осуществляем выбор на пустом множестве альтернатив. Это значит, что мы отвергли все предложенные альтернативы.
Естественно, что в реальных ситуациях принятия решений ограничения типа равенств встречаются не часто. Более адекватный случай – ограничения типа неравенств . Зададим в нашем примере ограничения типа неравенств. Будем считать, что нам надо купить подарок не ровно за 1 час. 20 мин. (как это было в ограничении типа равенств), а не более, чем за 1 час 20 мин., т.е. 0 мин. #q 2 #1 час 20 мин. Выбираем из всего множества подарков те, которые покупаются не более, чем за 1 час 20 мин. В это множество вошли второй и третий подарок. Теперь мы выбираем из них наилучший на основании только главного критерия – цены. Наилучшим будет второй подарок, т.к. у него меньшая цена (350 руб.)
Достоинства метода:
Не вводится никаких новых критериев;
Выявляется только самый значимый критерий, но численные значения весов не определяются.
Недостатки метода:
Ограничения типа равенств часто являются неадекватными реальным ситуациям принятия решений;
С ограничениями типа неравенств часто технически сложно решать задачу принятия решений.
На практике при решении многокритериальных задач выбора при неравнозначных критериях часто пользуются методом уступок. Как и в методе условной оптимизации, выбирают главный критерий. Далее задают значение вспомогательного критерия. После этого при фиксированном значении вспомогательного критерия ищут альтернативу с оптимальным значением главного критерия. Если значение главного критерия удовлетворяет лицо, принимающее решение, то найденная альтернатива принимается. Если значение главного критерия не удовлетворяет лицо, принимающее решение, то он пытается «уступить», т.е. снизить значение второстепенного критерия в надежде получить выигрыш в значении главного критерия. Если при сделанной уступке лицо, принимающее решение не выигрывает в значении главного критерия, то он либо продолжает процесс уступок, либо принимает какое-то решение из предыдущих, либо отвергает все альтернативы.
Поясним суть этого метода на рисунке. Пусть q 1 (x) - главный критерий. Зафиксируем значение второстепенного критерия q 2 (x) = C 2 1 . При данном фиксированном значении этого критерия (на рисунке это нижняя из горизонтальных прямых) найдем альтернативу с минимальным значением критерия q 1 (x). Это точка x 1 *1 . Предположим, что значение главного критерия q 1 (x 1 *1) нас не удовлетворяет.
Мы делаем уступку в значении второстепенного критерия q 2 (x), полагая его значение q 2 (x) = C 2 2 > C 2 1 . Далее при этом значении критерия q 2 (x) (на рисунке это средняя из горизонтальных прямых) найдем альтернативу с минимальным значением критерия q 1 (x). Это точка x 1 *2 . Предположим, что значение главного критерия q 1 (x 1 *1) нас не удовлетворяет.
Мы готовы сделать еще уступку в значении второстепенного критерия q 2 (x), полагая его значение q 2 (x) = C 2 3 > C 2 2 . Далее при этом значении критерия q 2 (x) (на рисунке это верхняя из горизонтальных прямых) найдем альтернативу с минимальным значением критерия q 1 (x). Это точка x 1 *3 . Значение главного критерия q 1 (x 1 *3) = Q нас теперь удовлетворяет. На этом процесс поиска решения прекращается. Найденная альтернатива x 1 *3 считается принятой.
Пример . Выбираем лучший подарок по двум критериям: q 1 - цена подарка, главный критерий; q 2 - время, затрачиваемое на его приобретение. Допустим, что цена первого, второго и третьего подарков соответственно 300 руб., 350 руб. и 400 руб.; время, затрачиваемое на их приобретение 2 часа, 1 час и 30 мин.
Зафиксируем значение второстепенного критерия q 2 (x) = 20 мин. При этом значении второго критерия выберем подарок с наименьшей ценой. Это множество пусто. Такое положение нас не удовлетворяет. Сделаем уступку по времени. Положим q 2 (x) = 30 мин. При этом значении второго критерия выберем подарок с наименьшей ценой. Это подарок третий. Посмотрим значение главного критерия – цену. Допустим, что его цена 400 руб. нас не устраивает. Вновь делаем уступку по времени. Положим q 2 (x) = 1 час. При этом значении второго критерия выберем подарок с наименьшей ценой. Это подарок второй. Посмотрим значение главного критерия – цену. Допустим, что его цена 350 руб. нас устраивает, т.е. мы считаем цену нашей уступки по времени (30 мин.) адекватной цене нашего выигрыша в главном критерии (50 руб.). Тогда процесс выбора окончен. Мы выбираем второй подарок.
Достоинства метода:
Идея метода уступок крайне проста;
Метод прост в реализации.
Недостатки метода:
Метод не гарантирует, что за достаточно большое число шагов найдётся удовлетворяющее решение. Это возможно из-за того, что цена уступок не будет адекватной цене нашего выигрыша.
Введение
Суть метода последовательных уступок
Порядок решения детерминированных многокритериальных задач методом последовательных уступок
Исследование метода последовательных уступок
Список использованной литературы.
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы принятия наилучших (оптимальных) решений стали в настоящее время весьма актуальными, особенно в экономике, технике, военном деле и других областях человеческой деятельности.
Задачи отыскания наилучших (или хотя бы удовлетворительных) путей достижения поставленных целей являются основными в новом разделе науки - исследовании операций, - который тесно связан с различными математическими дисциплинами, в том числе теорией игр, математическим программированием и теорией оптимальных процессов, теорией вероятностей и многими другими.
СУТЬ
МЕТОД
А
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
УСТУПОК
Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок заключается в том, что все частные критерии располагают и нумеруют в порядке их относительной важности; максимизируют первый, наиболее важный критерий; затем назначают величину допустимого снижения значения этого критерия и максимизируют второй по важности частный критерий при условии, что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более чем на величину установленного снижения (уступки); снова назначают величину уступки, но уже по второму критерию и находят максимум третьего по важности критерия при условии, чтобы значения первых двух критериев не отличались от ранее найденных максимальных значений больше чем на величины соответствующих уступок; далее подобным же образом поочередно используются все остальные частные критерии; оптимальной обычно считают любую стратегию, которая получена при решении задачи отыскания условного максимума последнего по важности критерия.
Таким образом, при использовании метода последовательных уступок многокритериальная задача сводится к поочередной максимизации частных критериев и выбору величин уступок. Величины уступок характеризуют отклонение приоритета од них частных критериев перед другими от лексикографического: чем уступки меньше, тем приоритет жестче.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК
При решении многокритериальной задачи методом последовательных уступок вначале производится качественный анализ относительной важности частных критериев; на основании такого анализа критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности, так что главным является критерий K 1 , менее важен. K 2 , затем следуют остальные частные критерии К 3 , К 4 ..., K S . Максимизируется первый по важности критерий K 1 и определяется его наибольшее значение Q 1 . Затем назначается величина «допустимого» снижения (уступки) D 1 >0 критерия K 1 и ищется наибольшее значение Q 2 второго критерия K 2 при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем Q 1 -D 1 . Снова назначается величина уступки D 2 >0, но уже по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного максимума третьего критерия, и т. д. Наконец, максимизируется последний по важности критерий Ks при условии, что значение каждого критерия К r из S-1 предыдущих должно быть не меньше соответствующей величины Q r -D r ; получаемые в итоге стратегии считаются оптимальными.
Таким образом, оптимальной считается всякая стратегия, являющаяся решением последней задачи из следующей последовательности задач:
1) найти Q 1 =
|
|
………………………………..
3) найти Q S =
Если критерий K S на множестве стратегий, удовлетворяющих ограничениям задачи S), не достигает своего наибольшего значения Q s , то решением многокритериальной задачи считают максимизирующую последовательность стратегий {u k } из указанного множества (lim K S (u k) = Q S).
Практически подобные максимизирующие последовательности имеет смысл рассматривать и для того случая, когда верхняя грань в задаче S) достигается, так как для решения экстремальных задач широко применяются итеративные методы.
Величины уступок, назначенные для многокритериальной задачи, можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета (степени относительной важности) частных критериев от жесткого, лексикографического.
Величины уступок D r последовательно назначаются в результате изучения взаимосвязи частных критериев.
Вначале решается вопрос о назначении величины допустимого снижения D r первого критерия от его наибольшего значения Q 1 . Практически для этого задают несколько величин уступок D 1 1 , D 2 1 , D 3 1 … и путем решения 2) в задаче (1) определяют соответствующие макс. значения Q 2 (D 1 1), Q 2 (D 2 1), Q 2 (D 3 1), и второго критерия. Иногда, если это не слишком сложно, отыскивается функция Q 2 (D 1). Результаты расчетов для наглядности Представляем графически (Рис 1)
|
Он показывает, что вначале даже небольшие величины уступок позволяют получить существенный выигрыш по второму критерию; с дальнейшим увеличением уступки выигрыш растет все медленнее. На основе анализа полученных данных и решают вопрос о назначении величины уступки D 1 , а затем находят Q 2 (D 1).
Далее рассматривают пару критериев K 2 и K 3 вновь назначают «пробные» величины уступок Q 2 (D 2 2), ... и, решая 3) в задаче (1), отыскивают наибольшие значения третьего критерия Q 3 (D 1 2), Q 3 (D 2 2),... Полученные данные анализируют, назначают D 2 , переходят к следующей паре критериев К 3 , K 4 и т. д.
Наконец, в результате анализа взаимного влияния критериев K S-1 и K S выбирают величину последней уступки D S-1 и отыскивают оптимальные стратегии, решая S) в задаче 1 (обычно ограничиваются нахождением одной такой стратегии).
Таким образом, хотя формально при использовании метода последовательных уступок достаточно решить
лишь S задач (1), однако
для назначения величин уступок с
целью выяснения взаимосвязи частных
критериев фактически приходится решать
существенно большее число подобных задач.
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК
Во введении при изучении отношения предпочтения ³, порождаемого векторным критерием, было выяснено, что в качестве оптимальных вообще могут выступать лишь эффективные стратегии. Поэтому возникают естественные вопросы: всегда ли использование метода последовательных уступок приводит к получению эффективных стратегий, а если не всегда - то в каких случаях (при выполнении каких условий) можно гарантировать получение лишь эффективных стратегий?
Оказывается, что метод последовательных уступок не всегда
приводит к выделению лишь эффективных стратегий, т. е. решениями S) из задачи
(1) могут быть и неэффективные стратегии. Это легко подтвердить простым
примером.
Пример 1. Пусть множество U
Ì
R 3 -
многогранник,
изображенный на рис.2 , K 1 (u)=u1, K 2 (u)=u 2, K 3 (u)=u 3 .
Здесь решением 3 из задачи (1) является любая точка треугольника ABC (на
рисунке он заштрихован), но эффективны лишь точки отрезка АС.
Справедливо, однако, утверждение: если u* - единственная (с точностью до эквивалентности) стратегия, являющаяся решением S) из задачи (1), то она эффективна.
Действительно, предположим, что стратегия u* неэффективна, так что существует стратегия u">u*. Но стратегия u" также удовлетворяет всем ограничениям S) задачи (1) и доставляет критерию K S значение Q s ; иначе говоря, u" оказывается решением этой задачи, что противоречит условию единственности u*. Утверждение доказано.
|
Можно доказать так же, что если UÌR n замкнуто и
ограничено, К r непрерывны на U, а стратегия, являющаяся решением
S) задачи (1), единственна с точностью до эквивалентности, то любая
максимизирующая последовательность, служащая решением S), эффективна.
Пример 2. Пусть U Ì R n - выпуклое множество,
а все К r
квазивогнуты. При этих условиях множество стратегий, удовлетворяющих
ограничениям r) задачи (1), также выпукло (r=1,2, ..., S), так что
каждая из задач 1), 2),..., S) является задачей квазивогнутого
программирования. Если Ks строго квазивогнут, то решением задачи S) может
служить лишь единственная и потому эффективная стратегия; если же |при этом U замкнуто
и ограничено, а все К r непрерывны на U, то любая
максимизирующая последовательность, являющаяся решением S), эффективна.
Пример 3. Предположим, что из многогранника U задачи,
описанной в примере 1, удалена вся грань А"В"С", но оставлена точка В. Теперь
эта точка оказывается единственным решением 3) задачи (1). Здесь точка В, конечно,
эффективна. Любая сходящаяся к ней последовательность внутренних точек многогранника, удовлетворяющих ограничениям задачи 3), будет максимизирую щей для Ks,
но не будет эффективной.
Указанное положение - следствие не замкнутости рассматриваемого в данном примере множества U.
В связи с тем, что не всегда стратегия, полученная с помощью метода последовательных уступок, является эффективной, возникает и такой вопрос: обязательно ли среди множества стратегий, выделяемых этим методом, существует хотя бы одна эффективная?
В общем случае на этот вопрос положительный ответ дать нельзя, однако имеет место такое утверждение: если UÌR n - множество замкнутое и ограниченное, а все К r непрерывны, то решением S) задачи (1) служит по крайней мере одна эффективная стратегия.
Действительно, при выполнении условий этого утверждения множество U s стратегий-решений S) оказывается непустым, замкнутым и ограниченным. Следовательно, существует точка u*ÎU S , в которой функция достигает наибольшего на U s значения. Нетрудно убедиться в том, что u* эффективна.
Таким образом, при решении почти всякой прикладной многокритериальной задачи метод последовательных уступок выделяет в качестве оптимальных и эффективные стратегии. Однако необходимо отметить, что выделенные эффективные стратегии не обязаны быть эквивалентными (см. пример 1); но нетрудно проверить, что это возможно лишь при S³3.
Если нельзя гарантировать, что при решении рассматриваемой многокритериальной задачи метод последовательных уступок приводит к получению лишь эффективных стратегий (в частности, если по выполняется вышеприведенное условие единственности), то для выделения эффективной стратегии среди решений задачи S) достаточно, как показывает только что проведенное доказательство,
Однако практически более удобно применять такой прием: заменить в S) критерий K s на,
где À - положительное число;
в результате получится задача:
Нетрудно доказать, что любая стратегия, являющаяся решением задачи (3), эффективна; более того, всякая максимизирующая последовательность, служащая решением этой задачи, также эффективна.
Смысл указанного приема заключается в том, что при достаточно малом числе À>0 для любой полученной в результате решения задачи (3) стратегии w значение критерия K S (w) будет весьма близким к Q s *) и эта стратегия эффективна, в то время как при решении S) задачи (1) может быть получена стратегия и, которую выгодно заменить некоторой эффективной стратегией v>u, существенно лучшей, чем и, но одному или даже нескольким частным критериям. А поскольку величины уступок А, на практике устанавливаются приближенно, то замена Ks на K* s при малых À>0 в силу указанной причины оказывается допустимой и оправданной.
Таким образом, понятие эффективной стратегии позволило уточнить вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом последовательных уступок.
С другой стороны, метод последовательных уступок позволяет указать характеристическое свойство эффективных стратегий.
Теорема 1.
Для любой
эффективной стратегии u* существуют такие числа D * r , что эту
стратегию можно выделить методом последовательных уступок, т. е.
при D r= D * r , r=1, 2,...,S-1,
стратегия u* является единственным (с точностью до эквивалентности) решением
S) задачи (1).
Теорема 1 характеризует эффективные стратегии с помощью последовательности задач (1). В частности, она показывает, что метод последовательных уступок можно использовать для построения множества эффективных стратегий.
Более того, теорема 1 позволяет исследовать и сам метод последовательных уступок. Действительно, она показывает, что при любом фиксированном расположении частных критериев, по степени относительной важности одним лишь выбором величин уступок можно обеспечить выделение любой эффективной стратегии в качестве оптимальной (так что проблема отыскания оптимальной стратегии, т. е. проблема выбора эффективной стратегии из всего множества U°, формально эквивалентна проблеме назначения надлежащих величин уступок при произвольном фиксированном упорядочении критериев).
Следовательно, для решения многокритериальной задачи нужно так ранжировать критерии, чтобы потом удобнее было выбирать величины уступок. Учитывая вышеизложенное и внимательно рассмотрев порядок назначения величин уступок, можно сделать следующий вывод: метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех многокритериальных задач, в которых все частные критерии естественным образом упорядочены по степени важности, причем каждый критерий настолько существенно более важен, чем последующий, что можно ограничиться учетом только попарной связи критериев и выбирать величину допустимого снижения очередного критерия с учетом поведения лишь одного следующего критерия.
Особенно удобным является случай, когда уже в результате предварительного анализа многокритериальной задачи выясняется, что можно допустить уступки лишь в пределах «инженерной» точности (6-10% от наибольшей величины критерия).
Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок - процедура довольно трудоемкая, даже если заранее выбраны величины всех уступок. Поэтому большой интерес представляет вопрос: можно ли при заданных D i получить оптимальную стратегию за один этап, сведя последовательность задач (1) к одной экстремальной задаче?
Мы можем указать лишь приближенный способ одноэтапного решения для S=2. Он основан на следующем утверждении:
Лемма 1.
Пусть множество UÌR p замкнуто и ограничено, K 1 и К 2 непрерывны на U, D 1 ³0 и À£ D 1 /M 1 2 , где
Тогда для любой стратегии u*, доставляющей функции L=K 1 +ÀК 2 наибольшее на U значение, справедливо неравенство Q 1 -K 1 (u*)£ D 1 причем если K 1 (u*)£ Q 1 , то
Эта лемма, показывает, что если решить задачу максимизации на U функции L=K 1 +ÀК 2 , в которой число À назначено указанным образом, то для полученной стратегии u* (она обязательно эффективна) значение K 1 (u*) будет отличаться от максимального Q 1 не более, чем на D 1 , a K 2 (u*) будет тем ближе к Q 2 , чем точнее назначена оценка М 1 2 .
Однако даже если взять число М 1 2 ,
удовлетворяющее (4) как равенству, и положить À = D 1 /M 1 2 , то все равно
нельзя гарантировать, что K 2 (u*)=Q 2 ,
так что
рассматриваемый способ действительно является приближенным.
Пример 4. Пусть U - четверть единичного круга, лежащая в положительном квадранте: U={u: uÎR 2 , u 2 1 +u 2 2 £1, u 1 ³0, u 2 ³0} K 1 (u)=u 1 , K 2 (u)=u 2 . Здесь Q 1 = l и М 1 2 =1, если исходить из (4) как равенства. Примем D 1 =0,2; À=0,2.
Функция u 1
+ 0,2u 2 достигает
максимума на U
в единственной точке так что, однако
Пример 5.
U={u: uÎR 2 , 0£u 2 £1, (1+d)u 2 £1-u 1 }
где d - положительное число, K 1 (u)=u 1 , K 2 (u)=u 2
. Используя (4) как равенство, находим: М 1 2 = 1.
Положим D 1 =1; À=1. Функция u 1 +u 2
достигает на U
максимума в
единственной точке (1, 0). Возьмем теперь; À=1 + e. где e- любое сколь угодно малое положительное число. Тогда при d
что Q 1 -K 1 (-d, 1) = 1+d >D 1 =1.
Примечание. Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод выделения основного частного критерия. Этот метод состоит в том, что исходная многокритериальная задача сводится к задаче оптимизации по одному частному критерию К L , который объявляется основным, или главным, при условии, что значения остальных частных критериев К r должны быть не меньше некоторых установленных величин («требуемых» значений) b r , т. е. к задаче
причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, являющаяся решением задачи (5).
Выделение критерия K t в качестве основного и назначение пороговых величин b r , для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые удовлетворяют всем S-1 ограничениям K r (u)³b r ; такие стратегии можно назвать допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии, которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S-1 неравенств. Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та, для которой значение Критерия K l больше.
Необходимо отметить, что установившееся название - «основной», или «главный» критерий - по существу весьма условно. Действительно, критерий K l максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного» частного критерия K r оказывается хоть немного меньше, чем b r , то она уже не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает, что метод последовательных уступок формально можно рассматривать как особую разновидность метода выделения основного частного критерия, отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин ограничений для задачи максимизации K S (это обстоятельство фактически уже использовалось при доказательстве теоремы 1).
Поэтому все полученные выше результаты, связанные с вопросами выделения эффективных стратегий методом последовательных уступок, переносятся и на рассматриваемый метод. В частности, этот метод выделяет лишь эффективные стратегии, когда решение задачи (5) единственно с точностью до эквивалентности; если же справедливость указанного условия единственности не установлена, то целесообразно в (5) заменить K l на
Где À>0 – достаточно малое число.
Выбор конкретной эффективной стратегии из множества U 0 формально эквивалентен назначению надлежащих величин b r , причем в качестве основного можно выбрать любой частный критерий.
Это означает, с одной стороны, что рассматриваемый метод универсален в том смысле, что он позволяет для каждой ммногокритериальной задачи выделить в качестве наилучшей любую эффективную стратегию.
Это же означает, с другой стороны, что вопросы о выборе одного из частных критериев в качестве основного и назначении минимально допустимых величин b r для остальных критериев нужно решать совместно, ибо какой бы частный критерий ни был выбран основным, только лишь назначением величин ограничений на остальные критерии можно обеспечить получение в качестве оптимальной любой (намеченной) эффективной стратегии.
Таким образом, предварительное выделение одного из частных критериев основным еще никак не уменьшает свободы выбора эффективной стратегии (так что название «основной», или «главный» критерий действительно весьма условно). Следовательно, при качественном анализе конкретной многокритериальной задачи вопрос о выделении одного из частных критериев в качестве основного следует решить так, чтобы облегчить назначение величин ограничений на остальные частные критерии.
Практически назначается серия «наборов» {b r } пороговых значений и для каждого «набора» отыскивается соответствующее наибольшее значение основного критерия (при этом следует учитывать данные выше рекомендации, относящиеся к обеспечению (получения лишь эффективных стратегий, а также иметь в виду, что при произвольно назначенных числах b r может случиться, что задача (5) вообще не имеет смысла, так как ни одна стратегия не удовлетворяет входящим в нее ограничениям).
Далее на основании анализа полученной серии значений всех частных критериев (т. е. серии значений векторного критерия) производится окончательное назначение величин ограничений, чем определяется и выбор стратегии, которая и будет считаться оптимальной.
Рассмотрение указанной процедуры назначения величин ограничений показывает, что расчет серии значений всех частных критериев фактически имеет целью получение представления о множестве эффективных стратегий (или некоторого его подмножества) с помощью ряда отдельных точек, а затем эта информация служит для окончательного выбора стратегии (производимого на основании интуиции, «здравого смысла» и т. п.).
Следовательно, метод выделения основного частного критерия стоит применять лишь в том случае, когда имеются соображения о примерных значениях величин b r , (или о довольно узких пределах этих значений), позволяющие ограничиться рассмотрением сравнительно небольшой части всего множества эффективных стратегий.
Список использованной литературы.
1) Подиновский В.В. , Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Сов. радио», 1975, 192 стр.
Интерактивные методы ориентированы на решение МКЗ, в которых требуется выделить наиболее предпочтительный объект (решение). В некоторых методах удается упорядочить объекты по предпочтению.
В основу каждого метода положен определенный подход к выбору наиболее предпочтительного объекта. В большинстве случаев такие эвристические подходы создаются на основе анализа и решения практических задач. Так как многокритериальные задачи часто встречаются в практике и, значит, их постановок большое число, то и интерактивных методов значительное количество.
В данном разделе рассмотрены различные по своим подходам методы. Первые два метода: метод уступок иметод смещенного идеала относятся к разным группам методов. Последующие три метода относятся к группе методов, позволяющих устанавливать бинарные отношения между объектами (outranking). В этих методах между объектами устанавливаются отношения: предпочтения (),безразличия (~)или несравнимости (N). Одним из первых методов этой группы былметод ELECTRE ,получивший свое развитие вметоде PROMETHEE . К этой же группе относится иметод ORESTE , но он существенно отличается от вышеперечисленных методов. Изложенные в данном разделе методы дают представление о многообразии интерактивных методов решения МКЗ.
Метод уступок
Данный метод позволяет выделить наиболее предпочтительный объект из конечного исходного множества.
Основная идея метода заключается в поэтапном исключении доминируемых объектов. Для установления доминирования между конкурирующими по двум критериям объектами используются коэффициенты замещения критериев. Блок-схема метода приведена на рис.2.1. Рассмотрим метод на примере.
Пусть стоит задача выбора варианта квартиры по трём критериям: k 1 – цена (тыс.$),k 2 – площадь (м 2),k 3 – расположение дома от метро (мин ходьбы до метро). Определим характер изменения критериев: предпочтение вариантов возрастает при уменьшенииk 1 ,k 3 и при увеличенииk 2 . Альтернативные варианты приведены в табл.2.1.
Таблица 2.1
Пример выбора варианта квартиры
|
Варианты квартир |
k 1 , тыс.$ |
k 2 , м 2 |
k 3 , мин |
|
В 1 | |||
|
В 2 | |||
|
В 3 | |||
|
В 4 | |||
|
В 5 |
На первом этапе выделим доминируемые варианты. Среди пяти исходных В 4 доминируетВ 3 , поэтому вариант 3исключаем. Оставшиеся варианты конкурируют между собой (оптимальны по Парето).
На втором этапе зададим коэффициент замещения второго критерия первым. В данном примере ЛПР должно ответить на вопрос: сколько тыс.$ оно готово заплатить за каждый дополнительный квадратный метр площади. Пусть
т.е. на столько по критерию k 1 он уступает при сравнении вариантов по критериюk 2 .
С учетом заданного коэффициента замещения Z 2,1 сравним вариантыВ 1 иВ 2 .
По критерию k 1 вариант 1предпочтительнее на б тыс.$, а по критериюk 2 , вариант 2предпочтительнее на .
Таким образом с учетом Z 2,1 = 1тыс.$по критериям k 1 иk 2 вариант 1 предпочтительнееВ 2 , так как. Поскольку по критериюk 3 вариант 1также предпочтительнееВ 2 , тоВ 1 доминируетВ 2 и значитВ 2 должен быть исключен.
З
десь
и далее во всех блок-схемах интерактивных
методов двойными контурными линиями
выделены блоки, выполняемые с участием
ЛПР. При сравненииВ
1
иВ
4
получим:
С учетом значенийk 3 вариант 1 доминируетВ 4 .
Сравнивая В 1 иВ 5 , определим
Значит, В 5 предпочтительнееВ 1 по критериямk 1 иk 2 , а с учётомk 3 получим,что эти два варианта конкурируют между собой.
После исключения доминируемых вариантовна основе коэффициента замещенияZ 2,1 остались два вариантаВ 1 иВ 5 .
Зададим коэффициент замещения третьего критерия первым. Пусть ЛПР готово уступить за каждую минуту (расстояние до метро) 100 $,т.е.
Сравнивая варианты В 1 иВ 5 , получим
Значит В 5 предпочтительнееВ 1 . Однако, надо иметь в виду, что вывод о предпочтительностиВ 5 неустойчив. Действительно, если коэффициент замещенияZ 2,1 принять равным0,15тыс.$, получим, чтоВ 1 предпочтительнееВ 5 .
Поэтому для большей уверенности при выборе вариантов следует ввести дополнительныекритерии.
Необходимо отметить, что при использовании метода уступок важно производить исследование устойчивости результата от задаваемых коэффициентов замещения.
Порядок, в котором вводятся в алгоритм коэффициенты замещения, не влияет на итоговый результат выделения наиболее предпочтительного варианта, т.е., если бы в примере ввести сначала Z 3,1 , а потомZ 2,1 , всё равноВ 5 будет наилучшим.
В заключение отметим особенности метода уступок:
метод позволяет выделять наиболее предпочтительные варианты;
отсутствуют процедуры перехода к относительным единицам (они не требуются);
агрегирование критериев осуществляется через коэффициенты замещения критериев;
результаты выделения наиболее предпочтительного варианта часто неустойчивы к коэффициентам замещения. Поэтому особое внимание следует уделять исследованию результатов на устойчивость.
Чтобы получить более полную характеристику достоинств и недостатков проектируемого объекта, нужно ввести больше критериев качества в рассмотрение. Как результат, задачи проектирования сложных систем всегда многокритериальные, так как при выборе наилучшего варианта приходится учитывать много различных требований, предъявленных к системе .
С привычной точки зрения задача со многими критериями решения не имеет, но к счастью это не так, всегда есть возможность одновременного удовлетворения всех заданных условий . А так, как практически любая подобная ситуация допускает разные компромиссные разрешения, то и подходы к их поиску многочисленны и весьма разнообразны.
Перечислим некоторые из подходов к решению задач многокритериальной оптимизации:
1. Метод уступок – лицо, принимающее решения подводится к выбору решения путем постепенного ослабления первоначальных требований, как правило, одновременно невыполнимых.
2. Метод идеальной точки – в области допустимых значений неизвестных ищется такая их совокупность, которая способна обеспечить набор значений критериев, в том или ином смысле ближайший к наилучшему варианту.
3. Метод свертывая – лицо, принимающее решения сводит многокритериальную задачу к задаче с одним критерием.
Ниже, рассмотрим подробно этих методов решения задачи многокритериальной оптимизации .
2.1. Метод последовательных уступок
Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности . Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Вначале определяется максимальное значение , первого по важности критерия в области допустимых решений, решив задачу
Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения (экономически оправданной уступки) критерияи отыскивается максимальное значение второго критерияпри условии, что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача
Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного экстремума третьего частного критерия и т.д. Наконец, выявляется экстремальное значение последнего по важности критерияпри условии, что значение каждого из первыхчастных критериев отличается от экстремального не более чем на величину допустимой уступки. Получаемое на последнем этапе решение считается оптимальным.
Существенным недостатком метода последовательных уступок является то, что решение, полученное этим методом, может оказаться неоптимальным по Парето .
Рассмотрим пример, математическая модель трехкритериальной задачи имеет вид :
Уступка по первому критерию , а по второму.
Открываем электронную книгу Excel и, как и для решения однокритериальной задачи определяем ячейки под переменные . Для этого в ячейку А2 вводим подпись «Переменные», а соседние три ячейки В2, С2 и D2 вводим значения переменных. Это могут быть произвольные числа, например единицы или нули, далее они будут оптимизироваться.
рис. 2.1. Определение переменных значений
В третьей строке задаем целевые функции. В А3 вводим подпись «Целевые», а в В3 формулой «=2*B2+C2-3*D2» задаем первую целевую функцию . Аналогично в С3 и D3 вводим вторуюи третьюцелевую функцию, вводя в С3 «=B2+3*C2-2*D2», а в D3 «=-B2+2*C2+4*D2».
рис.2.2. Определение целевых значений
Ячейка А5 будем называть «Ограничения».
Левые части ограничений распишем от B5:D7, правые части записываем в диапазонF5:F7. Вводим в Е5 формулу «=B5*$B$2+C5*$C$2+D5*$D$2», номера столбцов и номера строк ряда переменных зафиксировано, далее воспользуемся автозаполнением, чтобы заполнить ячейки Е6 и Е7.
рис.2.3. Определение ограничений
Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск решения» в меню «Данные».
На первом этапе оптимизируем первую целевую функцию. После открытия окна «Поиск решения» в поле «Оптимизировать целевую функцию» ставим курсор и делаем ссылку на ячейку «В3», щелкая по ней мышью. В окне появится $B$3. В связи с тем, что целевая функция максимизируется, далее нужно проверить, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Максимум».
После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки переменных» и обводим ячейки с переменными В2, С2 и D2, выделяя ячейки с переменными. В поле появиться $B$2:$D$2.
В нижней части окна находится поле «Ограничения». Для того, чтобы ввести ограничения, нажимаем кнопку «Добавить», откроется окно «Добавление ограничения». В левом поле «Ссылка на ячейки» вводят ссылку на левую часть первого ограничения – ячейку «Е5», в центральном окне определяем знак«»и в правом «Ограничения» выбираем соответствующую правую часть первого ограничения –«F5». Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось в окне. Нажимаем вновь «Добавить», вводим «E6» «» и «F6». Вновь нажимаем «Добавить», вводим «E7» «≤» и «F7».
Для ввода дополнительных ограничений вновь нажимаем «Добавить», ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В2, С2 и D2 (результат $B$2:$D$2) в среднем окне ставим «» и в правом число 0.
рис. 2.4. Параметры поиска решения
рис.2.5. Результат полученного решения
На втором этапе оптимизируется вторая целевая функция. Однако, первую, в соответствие с методом последовательных уступок, можно ухудшить первый критерий на величину не более, чем . По этой причине, на втором шаге, значения в ячейке В3 (где хранится первая целевая функция, которая максимизируется) может быть значение, не меньшее, чем 24,8 (=28,8-4). Для удобства, можно записать «Уступок» в сторонке.
Вызываем надстройку «Поиск решения», видно, что все прежние данные остались введенными. Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Оптимизировать целевую функцию» и щелкаем по ячейке С3, в которой находится ссылка на вторую целевую функцию. Так, как вторая целевая минимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Минимум». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по первому критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить», правее поля. В появившемся окне «Добавление ограничения» в трех окнах (слева на право) вводим данные «В3», «≥», «С9».
Результат – переменные равны 10,2; 4,4; 0. Вторая целевая функция равна 23,4 (ячейка С3). Первая равна своему минимальному значению 24,8 (ячейка В3).
рис.2.6. Определение уступка
На третьем этапе делаем уступку по второму критерию. Величина уступки равна . Так, как вторая функция минимизируется, то ее значение не должно превышать 23,4+5=28,4. Вызываем надстройку «Поиск решения». Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Оптимизировать целевую функцию» и щелкаем по ячейке D3, в которой находится ссылка на третью целевую функцию. Так, как третья целевая максимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Максимум». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по второму критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить». В появившемся окне «Добавление ограничения», вводим данные «С3», «≤», «С10».
Результат – переменные равны 10,76; 6,62; 1,11. Целевые функции равны, соответственно, 24,8; 28,4 и 6,93. Это окончательный ответ. Все дополнительные условия соблюдены.
рис.2.7. Окончательный результат решения по методу последовательного уступка
1. Расположить критерии по убыванию их значимости.
2. Решить задачу по первому критерию () 1 f x , то есть отыскать
субоптимальное
* решение () . 1
1 f Х = F
* Субоптимальное решение – оптимальное решение по одной из частных целевых функ-
3. Сделать «уступку» по первому критерию, т. е. уменьшить
величину F1 до значения 1 1,
1 F = k F 0 1 1 £ k £ .
4. Ввести в модель дополнительное ограничение
f1 (x) ³ k1F1 = F1 .
5. Решить задачу по второму критерию () 2 f x , т. е. найти су-
боптимальное решение () opt
f2 Х ** = F2.
6. Сделать уступку по второму критерию
2 F = k F 0 1 2 £ k £ .
7. Ввести в задачу дополнительное ограничение
f 2 (x) ³ k2F2 = F2 .
8. Решить задачу по третьему критерию () 3 f x
3 f (Х) = F и т. д.
Субоптимальный план, найденный при решении последней
задачи, является оптимальным компромиссным планом в данной
схеме компромисса.
Ниже на рис. 6.2. приводится наглядная графическая иллюст-
рация данного метода для случая трех целевых функций. Метод
последовательных уступок, являясь чрезвычайно простым и по-
нятным в реализации, обладает, тем не менее, целым рядом недос-
татков, основными из которых являются:
1. Сложность и субъективизм в ранжировании критериев.
2. Субъективизм в задании величин уступок.
3. Степени достижения оптимума (безусловного) по всем
критериям, кроме первого, неопределены. Рассчитать их можно,
лишь решив исходные модели по соответствующим целевым
функциям (еще (S -1) задач) на глобальный оптимум.
** Обращаем внимание читателей на то, что для всех целевых функций, начиная со вто-
рой, оптимальные решения являются условными (в условиях сделанных ранее уступок).
у с т
к о м п р X
Рис. 6.2. Графическая иллюстрация метода последовательных
уступок
4. Поскольку уступка по последнему критерию не делается,
степень достижения оптимума по нему может оказаться совер-
шенно неудовлетворительной. Для «исправления» плана в этом
случае все расчеты должны быть повторены с другими (причем не
гарантирующими нужных окончательных результатов) коэффици-
ентами уступок.
Метод минимизации суммы относительных степеней
достижения цели
Общий вид модели, формализующей данную схему компро-
мисса, будет следующим:
- + - + +
F f x ()
при g x b i i i () £ ," ,
где s F – лучшее, оптимальное _______значение целевой функции s (s =1,S);
f (x) s – текущее значение целевой функции s (s =1,S).
* Данная схема компромисса представляет собой по существу формализованную
интерпретацию основного закона социализма, сформулированного И. Сталиным: «Обес-
печение максимального удовлетворения постоянно растущих материальных и культур-
ных потребностей всего общества путем непрерывного роста и совершенствования со-
циалистического производства на базе высшей техники» (Сталин И. Экономические
проблемы социализма в СССР. – М.: Госполитиздат, 1952).
Основным недостатком данной схемы является взаимоком-
пенсация влияния локальных целевых функций (показателей) на
целевую функцию глобальной модели.
Для устранения данного недостатка в модель должны быть
добавлены дополнительные ограничения, «следящие» за тем, что-
бы по определенному набору локальных целевых показателей не
были получены их недопустимые минимальные уровни.
Метод минимизации равных относительных степеней достиже-
ния цели
Если под компромиссным решением понимать такой план,
который по каждому целевому показателю обеспечивает одинако-
вые относительные отклонения от оптимальных решений, то соот-
ветствующая математическая модель, позволяющая найти это ре-
шение, будет иметь вид
- = - = =
F f x ()
при g x b i i i () £ ," .
Читателю предлагается самостоятельно привести модель к
линейному виду, считая, что целевые функции и функции затрат
всех ресурсов линейны.
Недостатки метода:
1. Уравнительный характер искомого компромиссного плана.
2. Наихудший (по степени достижения цели) показатель оп-
ределяет результаты по всем остальным компонентам целевой
вектор-функции.
Метод максимизации минимальной относительной степени дос-
тижения цели
Свободным от недостатков рассмотренных выше методов яв-
ляется метод, в котором компромисс формализуется как поиск ре-
шения, максимизирующего по всем показателям относительную
минимальную степень достижения цели.
Рассмотрим эту схему компромисса более подробно.
I этап. Все критерии делаются «однонаправленными», на-
пример, решаемыми на максимум. Достигается это изменением
знака на обратный в целевых функциях, соответствующих мини-
мизируемым показателям.
Получаем модель
f (x) = { f1(x); f 2 (x); ...; f s (x)}® max
при g x b i i i () £ ," .
II этап. Исходная модель решается по каждой целевой
функции в отдельности, а результаты решения сводятся в таблицу
следующего вида:
Целе-
функ-
Оптимальные
планы
Целевые функции
f1(x) f2(x) … fs(x)
f1(x) opt
X1 () opt
f1 X1 () opt
f2 X1 … () opt
f2(x) opt
X 2 () opt
f1 X2 () opt
f2 X2 … () opt
… … … … … …
fs(x) opt
X s () opt
f1 X s () opt
f2 X s … () opt
Fs – max по столбцу F1 F2 … Fs
fs – min по столбцу f1 f2 … fs
Ds = Fs – fs D1 D2 … Ds
III этап. При решении одноцелевых задач «автоматически»
отыскивается наибольшая степень достижения цели. В случае же
многоцелевой оптимизации, как уже отмечалось, степень дости-
жения абсолютного оптимума не может быть наибольшей по всем
критериям сразу, а, следовательно, возникает проблема ее измере-
ния. В абсолютном измерении степень достижения цели по пока-
зателю s может быть рассчитана по формуле (()) s s f x - f , т. е. как
степень удаления текущего значения функции от наименьшего ее
значения (от найденных субоптимальных планов). Графически это
выглядит следующим образом.
Поскольку компоненты целевой вектор-функции задаются в
различных единицах и масштабе, то для сопоставления различ-
ных степеней достижения цели при поиске компромиссного пла-
на их необходимо нормировать.
Нормирование степени достижения оптимума по критерию s
можно осуществить следующим образом:
() , 0 £ (x) £1 s
Введя функционал, формализующий понятие степени дости-
жения цели, приступим к формализации принятой схемы компро-
мисса, т. е., коль скоро невозможно достичь максимальной степе-
ни достижения цели по всем критериям сразу, зададимся целью,
чтобы наибольшей была минимальная по любому из критериев
степень достижения оптимума. Это означает, что если мы достиг-
ли максимума наихудшей степени достижения оптимума по како-
му-либо критерию, то по всем остальным критериям степень дос-
тижения цели будет не меньшей (равной или большей).
Многоцелевая модель, формализующая вышесказанное, долж-
на быть записана следующим образом:
max min s (x)
j ³ j "
() min (), .
Вводя новую переменную модели min s (x)
l = j , получим
Или в окончательном виде:
- D l ³ "
Полученная модель при линейности исходной модели явля-
ется также линейной с незначительным увеличением ее размер-
ности (на одну переменную и s дополнительных ограничений).
При решении многоцелевых задач у пользователя может поя-
виться желание отразить в модели неравнозначность (относитель-
ную важность) оптимизируемых целевых показателей. Сделать это
достаточно просто с помощью соответствующего вектора весовых
коэффициентов Î s
a . Модель в этом варианте будет иметь сле-
дующий вид:
- a D l ³ "
Однако при использовании данного подхода значительную
сложность представляет обоснование величин s
a . Надежного, на-
учно обоснованного метода их получения нет. Вся тяжесть реше-
ния этой задачи ложится на принимающего решение. При этом,
как показывают исследования, компромисс, основанный на ис-
пользовании весов s
a , очень неустойчив: «малым» изменениям от-
дельных величин могут соответствовать очень «большие» измене-
ния в результатах решения. Практически это ставит под сомнение
целесообразность «взвешивания» целевых показателей с целью
учесть в модели их относительную важность.
В то же время использование весовых коэффициентов s
весьма эффективно при практической реализации настоящей мо-
дели в режиме диалога. Действительно, при анализе текущего
компромиссного плана возможна, например, ситуация перевыпол-
нения установленных заданий по одной группе показателей и не-
довыполнения – по другой. В этом случае, последовательно
уменьшая в режиме диалога весовые коэффициенты по первой
группе показателей, целесообразно продолжить поиск рациональ-
ного решения, удовлетворяющего пользователя. Правда, при этом
необходимо помнить о высокой «неустойчивости» результатов от-
носительно весовых коэффициентов.
Контрольные вопросы.
1. Поясните понятие множество Парето.
2. В чем заключается алгоритм метода уступок?
3. Приведите примеры задач, при решении, которых необхо-
димо применять несколько критериев.
