Аберрация оптических систем (от лат. aberratio
− уклонение, удаление) − искажения изображений, даваемых реальными оптическими системами, заключающиеся в том, что оптические изображения неточно соответствуют предмету, оказываются размыты (монохроматические геометрические аберрации оптических систем) или окрашены (хроматические аберрации оптических систем). В большинстве случаев аберрации обоих типов проявляются одновременно.
В приосевой, так называемой параксиальной, области оптическая система близка к идеальной, т. е. точка изображается точкой, прямая линия − прямой и плоскость − плоскостью. Но при конечной ширине пучков и конечном удалении точки-источника от оптической оси нарушаются правила параксиальной оптики: лучи, испускаемые точкой предмета, пересекаются не в одной точке плоскости изображений, а образуют кружок рассеяния, т. е. изображение искажается − возникают аберрации.
Геометрические аберрации
оптических систем характеризуют несовершенство оптических систем в монохроматическом свете. Происхождение аберрации оптических систем можно понять, рассмотрев прохождение лучей через центрированную оптическую систему L
(рис. 1).
OO 1
− плоскость предмета, О / О 1 /
− плоскость изображений, РР 1
и Р / P 1 /
− соответственно плоскости входного и выходного зрачков. В идеальной оптической системе все лучи, испускаемые какой-либо точкой С(z, у)
предмета, находящейся в меридиональной плоскости (z = 0
) на расстоянии у = l
от оси, пройдя через систему, собрались бы снова в одну точку С
(z o / , y о /
). В реальной оптической системе эти лучи пересекают плоскость изображения O / O 1 /
в разных точках. При этом координаты z /
и у /
точки В
пересечения луча с плоскостью изображения зависят от направления луча и определяются координатами р у
и р z
точки А
пересечения с плоскостью входного зрачка. Отрезок С / В
характеризует несовершенство изображения, даваемого данной оптической системой. Проекции этого отрезка на оси координат равны δg = y / − y о /
и δG = z / − z o /
и характеризуют поперечную аберрацию. В заданной оптической системе δg /
и δG /
являются функциями координат падающего луча СА
: δg / = f 1 (l, р у, р z)
и δG / = f 2 (l, Р у, Р z)
Считая координаты малыми, можно разложить эти функции в ряды по p z
и l
.
Линейные члены этих разложений соответствуют параксиальной оптике, следовательно коэфф. при них должны быть равными нулю; чётные степени не войдут в разложение ввиду симметричности оптич. системы; таким образом остаются нечётные степени, начиная с третьей; аберрации 5-го порядка (и выше) обычно не рассматривают, поэтому первичные аберрации оптических систем называются аберрациями 3-го порядка. После упрощений получаются следующие формулы
Коэффициенты А
, В
, С
, D
, Е
зависят от характеристик оптической системы (радиусов кривизны, расстояний между оптическими поверхностями, показателей преломления). Обычно классификацию аберраций оптических систем проводят, рассматривая каждое слагаемое в отдельности, полагая другие коэффициенты равными нулю. При этом для наглядности представления об аберрации рассматривают семейство лучей, исходящих из точки-объекта и пересекающих плоскость входного зрачка по окружности радиуса ρ
с центром на оси. Ей соответствует определённая кривая в плоскости изображений, а семейству концентрических окружностей в плоскости входного зрачка радиусов ρ
, 2ρ
, 3ρ
и т. д. соответствует семейство кривых в плоскости изображений. По расположению этих кривых можно судить о распределении освещённости в пятне рассеяния, вызываемом аберрацией.
Сферическая аберрация
соответствует случаю, когда А ≠ 0
, а все другие коэффициенты равны нулю. Из выражения (*) следует, что эта аберрация не зависит от положения точки С в плоскости объекта, а зависит только от координаты точки А
в плоскости входного зрачка, а именно, пропорциональна ρ 3
. Распределение освещённости в пятне рассеяния таково, что в центре получается острый максимум при быстром уменьшении освещённости к краю пятна. Сферическая аберрация − единственная геометрическая аберрация, остающаяся и в том случае, если точка-объект находится на главной оптической оси системы.
Кома
определяется выражениями при коэффициенте B ≠ 0
. Равномерно нанесённым на входном зрачке окружностям соответствуют в плоскости изображения семейства окружностей (рис. 2) с радиусами, увеличивающимися как ρ 2
, центры которых удаляются от параксиального
изображения также пропорционально ρ 2
. Огибающей этих окружностей (каустикой) являются две прямые, составляющие угол 60°
. Изображение точки при наличии комы имеет вид несимметричного пятна, освещённость которого максимальна у вершины фигуры рассеяния и вблизи каустики. Кома отсутствует на оси центрированных оптических систем.
Астигматизм и кривизна поля
соответствуют случаю, когда не равны нулю коэффициенты С
и D
. Из выражения (*) следует, что эти аберрации пропорциональны квадрату удаления точки-объекта от оси и первой степени радиуса отверстия.
Астигматизм
обусловлен неодинаковой кривизной оптической поверхности в разных плоскостях сечения и проявляется в том, что волновой фронт деформируется при прохождении оптической системы, и фокус светового пучка в разных сечениях оказывается в разных точках. Фигура рассеяния представляет собой семейство эллипсов с равномерным распределением освещённости. Существуют две плоскости − меридиональная и перпендикулярная ей сагиттальная, в которых эллипсы превращаются в прямые отрезки. Центры кривизны в обоих сечениях называются фокусами, а расстояние между ними является мерой астигматизма. Пучок параллельных лучей, падающих на оптическую систему под углом w
(рис. 3),
в меридиональном сечении имеет фокус в точке m
, а в сагиттальном − в точке s
. С изменением угла w
положения фокусов m
и s
меняются, причём геометрические места этих точек представляют собой поверхность вращения MOM
и SOS
вокруг главной оси системы, На поверхности КОК, находящейся на равных расстояниях от MOM
и SOS
, искажение наименьшее, поэтому поверхность КОК называется поверхностью наилучшей фокусировки. Отклонение этой поверхности от плоскости представляет собой аберрацию, называемой кривизной поля. В оптической системе может отсутствовать астигматизм (например, если MOM
и SOS
совпадают), но кривизна поля остаётся: изображение будет резким на поверхности КОК
, а в фокальной плоскости FF
изображение точки будет иметь вид кружка.
Дисторсия
проявляется в случае, если Е ≠ 0
; как видно из формул (*), она может быть в меридиональной плоскости: δg" = El 3
; δG / = 0
. Дисторсия не зависит от координат точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка (поэтому каждая точка изображается точкой), но зависит от расстояния точки до оптической оси (−l 3
), поэтому изображение искажается, нарушается закон подобия. Например, изображение квадрата имеет вид подушкообразной и бочкообразной фигур (рис. 4) соответственно в случае E > 0
и E < 0
.
Труднее всего устранить сферическую аберрацию и кому
. Уменьшая диафрагму, можно было бы практически полностью устранить обе эти аберрации, однако уменьшение диафрагмы уменьшает яркость изображения и увеличивает дифракц. ошибки. Подбором линз устраняют дисторсию, астигматизм и кривизну поля изображения.
Хроматическая аберрация
. Излучение обычных источников света обладает сложным спектральным составом, что приводит к возникновению хроматической аберрации. В отличие от геометрических, хроматические аберрации возникают и в параксиальной области. Дисперсия света порождает два вида хроматической аберраций
: хроматизм положения фокусов и хроматизм увеличения
. Первая характеризуется смещением плоскости изображения для разных длин волн, вторая − изменением поперечного увеличения.
Хроматическая аберрация
(от греч. croma
− цвет) − одна из основных аберраций оптических систем, обусловленная зависимостью показателя преломления прозрачных сред от длины волны света
. Хроматическая аберрация проявляется в оптических системах, включающих элементы из преломляющих материалов (например, линзы), зеркалам хроматическая аберрация не свойственна, т. е. зеркала ахроматичны.
Существуют два не зависящих один от другого типа хроматических аберраций: хроматизм положения изображения и хроматизм увеличения
. Хроматизм положения состоит в том, что изображения удалённой точки, формируемые лучами разной длины волны, не совпадают для лучей разного цвета, располагаясь вдоль некоторого отрезка О 1 О 2
(т. е. немонохроматический пучок света имеет целую совокупность фокусов вдоль отрезка оптической оси; см. рис.).
В этом случае на экране, поставленном перпендикулярно оптической оси в области формирования изображения, вместо одной светлой точки наблюдается совокупность цветных кружков.
Хроматизм увеличения заключается в том, что поперечные увеличения изображений объекта, формируемых лучами разной длины волны, могут оказаться различными. Это вызвано различием положений гл. плоскостей системы для лучей разного цвета, что может иметь место, даже если их фокусы совпадают, но различаются фокусные расстояния. Из-за хроматизма увеличения изображение предмета конечных размеров оказывается окружённым цветной каймой.
Исправлять хроматизм положения в оптической системе можно, совмещая фокусы для лучей света разной длины волны. В простейшем случае совмещение фокусов для лучей двух длин воли (и уменьшение взаимного удаления фокусов лучей др. длин волн) сравнительно несложно. Такие системы (обычно объективы) называются ахроматами. В более совершенных апохроматах фокусы совмещают для лучей трёх длин волн, для чего увеличивают число элементов системы с разными показателями преломления и вводят в систему зеркала. Ещё более тщательное исправление хроматизма положения требует дальнейшего усложнения конструкции системы, тем большего, чем больше её относительное отверстие и угол поля зрения оптической системы (число линз и зеркал увеличивается и форма их усложняется).
При исправлении хроматизма увеличения необходимо совместить главные плоскости для возможно большего числа лучей с разными длинами волн, что связано с большими трудностями.
Литература: Слюсарев Г. Г., Методы расчета оптических систем, 2 изд., Л., 1969; Сивухин Д. В., Общий курс физики, [т, 4] - Оптика, 2 изд., М., 1985; Теория оптических систем, 2 изд, М., 1981. Г. Г. Слюсарев
Аберрации оптических систем (от латинского aberratio – отклонение) – искажения, ошибки, или погрешности изображений, формируемых оптическими системами. Причина их возникновения в то, что луч отклоняется от того направления, по которому в близкой к идеалу оптической системе он должен был бы идти. Различные нарушения гомоцентричности (отчетливости, соответствия или окрашенности) в структуре выходящих из оптической системы пучков лучей характеризуют аберрации.
Наиболее распространенными видами аберраций оптических систем можно считать:
1. Сферическую аберрацию. Она характеризуется недостатком изображения. При нем испущенные одной точкой объекта световые лучи, проходящие вблизи оси оптической системы, и лучи, проходящие через отдаленные от оси части системы, не собираются в одной точке.
2. Кому. Так называют аберрацию, которая возникает во время косого прохождения световых лучей через оптическую систему. В результате этого наблюдается нарушение симметрии пучка лучей относительно его оси и изображение точки (которая создается системой) принимает вид несимметричного пятна рассеяния.
3. Астигматизм.
О
б этой аберрации говорят, когда световая волна испытывает деформацию во время прохождения оптической системы. В результате этого, наблюдается деформация, при которой исходящие из одной точки объекта пучки лучей не пересекаются в одной точке, а располагаются в двух взаимно перпендикулярных отрезках на некотором расстоянии друг от друга. Такие пучки получили название астигматических.
4. Дисторсию. Так называется аберрация, характеризующаяся нарушением геометрического подобия между объектом и изображением объекта. Она обуславливается неодинаковостью линейного оптического увеличения на разных участках изображения.
5. Кривизну поля изображения. При этой аберрации наблюдается процесс, когда изображение плоского предмета получается резким на искривленной поверхности, а не на плоскости, как должно было.
Все вышеперечисленные виды аберраций оптических систем называются геометрическими или аберрациями Зейделя. В реальных системах отдельные виды геометрических аберраций можно встретить крайне редко. Куда чаще мы можем наблюдать симбиоз всех аберраций. А метод выделения отдельных видов аберраций является искусственным приемом, призванным облегчить анализ явления.
В то же время существует и хроматическая аберрация. Наблюдается связь этог
о вида аберрации и зависимости показателя преломления оптических сред от длины волны света. Проявления этой аберрации наблюдаются в оптических системах, в которые входят элементы из преломляющих материалов. Как пример, линзы. Отметим также, что зеркалам свойственна ахроматичность.
Проявление хроматических аберраций может наблюдаться при виде постороннего окрашивания изображения, а также, когда у изображения предмета появляются цветные контуры, которых у предмета ранее не наблюдалось. Хроматические аберрации обусловливаются дисперсией оптических сред (зависимость показателя преломления оптических материалов от длины проходящей световой волны). Именно из них образуется оптическая система
К числу этих аберраций можно отнести хроматическую аберрацию или хроматизм положения (ее иногда называют «продольным хроматизмом») и хроматическу аберрацию или хроматизм увеличения.
Хотите узнать больше об аберрациях оптических систем? У вас остались какие-то вопросы или появилось желание получше разобраться в отдельных нюансах? – Мы всегда готовы вам помочь. Просто зарегистрируйтесь на нашем сайте, выберите подходящий тарифный план и вперед!
Остались вопросы? Не знаете, как сделать домашнее задание?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Министерство образования
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Курсовая работа
«Аберрации оптических систем»
Выполнил: студент 2-го
курса гр. 473
…………….
Проверил:
Тюмень 2009г.
Введение
1. Хроматическая аберрация
2. Волновые и лучевые аберрации; функции аберраций
3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
3.1 Сферическая
3.3 Астигматизм и кривизна поля
3.4 Дисторсия
Список литературы
Введение
Аберрации оптических систем (от лат. Aberratio – уклонение), искажения, погрешности изображения, формулируемых оптическими системами. Аберрации оптических систем проявляются в том, что оптические изображения не вполне отчетливы, не точно соответствуют объектам, или оказываются окрашенными. Наиболее распространены следующие виды аберраций оптических систем: сферическая – недостаток изображения, при котором испущенные одной точкой объекта световые лучи, прошедшие вблизи оптической оси системы, и лучи, прошедшие через отдаленные от оси части системы, не собираются в одну точку: кома – аберрация, возникающая при косом прохождении световых лучей через оптическую систему. Если при прохождении оптической системы сферическая световая волна деформируется так, что пучки лучей, исходящих из одной точки объекта, не пересекаются в одной точке, а располагаются в двух взаимно перпендикулярных отрезках на некотором расстоянии друг от друга, то такие пучки называются астигматическими, а сама эта аберрация – астигматизмом . Аберрация называемая дисторсией , приводит к нарушению геометрического подобия между объектом и его изображением. К аберрациям оптических систем относится также кривизна поля изображения.
Оптические системы могут обладать одновременно несколькими видами аберраций. Их устранение производят в соответствии с назначением системы; часто оно представляет собой трудную задачу. Перечисленные выше аберрации оптических систем называются геометрическими. Существует еще хроматическая аберрация, связанная с зависимостью показателя преломления оптических сред от длины волны света.
1. Хроматическая аберрация
Если пучок немонохроматического света падает на преломляющую поверхность, то он расщепляется на несколько лучей, каждый из которых имеет определенную длину волны. Поэтому, пересекая оптическую систему, лучи света с различными длинами волн будут распространяться после первого преломления не вполне одинаковыми путями. В результате изображение окажется нерезким, и в этом случае говорят, что система обладает хроматической аберрацией.
Рис. 1. Продольная и поперечная хроматические аберрации.
Мы ограничимся рассмотрением точек и лучей, расположенных вблизи оси, т. е. предположим, что для каждой длины волны отображение подчиняется законам параксиальной оптики. В этом случае говорят о хроматической аберрации первого порядка, или о первичной аберрации. Пусть и - отображения точки Р в различных длинах волн (рис. 1); тогда проекции на направления, параллельное и перпендикулярное оси, определяют соответственно продольную и поперечную хроматические аберрации.
Рассмотрим изменение фокусного расстояния тонкой линзы в зависимости от изменения показателя преломления . Величина (n - 1)f для такой линзы не зависит от длины волны. Следовательно
(1)
Величина
(2)
Рис.2. Типичные дисперсионные кривые для стекла различных сортов
I – тяжелый флинт; II – тяжелый бариевый крон;III – легкий флинт;IV – тяжелый крон; V – боросиликатный крон.
где , и - показатели преломления, соответствующие линиям Фраунгофера F, D и C ( 4861 , 5893 и 6563 ), служит грубой мерой дисперсии стекла и называется относительной дисперсией. Из (1) видно, что эта величина Приблизительно равна расстоянию между красным и синим изображениями, деленному на фокусное расстояние линзы. На рис. 2 показано изменение величин показателей преломления с изменением длины волны для стекла нескольких сортов, обычно используемых в оптических системах. Соответствующие значения лежат в пределах от 1/60 до 1/30.
Рис. 3. Ахроматический дуплет
Для получения изображения хорошего качества необходимо, чтобы как монохроматические, так и хроматические аберрации были малы. Обычно выбирают некоторое компромиссное решение, поскольку в общем случае невозможно устранить одновременно аберрации всех типов. Часто оказывается достаточным избавиться от хроматической аберрации для двух выбранных длин волн. Выбор этих длин волн зависит, естественно, от назначения той или иной оптической системы; например, фотообъективы, в отличие от приборов, служащих для визуальных наблюдений, обычно «ахроматизируют» для цветов, близких к синему концу спектра, так как обычная фотографическая пластинка более чувствительна к синей области спектра, чем человеческий глаз. Конечно, ахроматизация для двух длин волн не устраняет полностью цветовую ошибку. Остающаяся хроматическая аберрации называется вторичным спектром.
Рассмотрим теперь условия, при которых две тонкие линзы образуют комбинацию, свободную от хроматизма фокусного расстояния. Величина, обратная фокусному расстоянию комбинации двух тонких линз, расположенных на расстоянии l друг от друга, равна
(3)
Как мы видим,, когда
(4)
Если ахроматизация производится для линий C и F, то, используя (1) и (2) получим
(5)
Где и - относительные дисперсии обеих линз.
Один из методов уменьшения хроматической аберрации состоит в использовании двух соприкасающихся тонких линз (рис.3), одна из которых сделана из крона, а вторая из флинта. В этом случае, поскольку l = 0, получим из (5)
(6)
или, используя(3),
, 
(7)
соотношения (7) для данных сортов стекла и заданного фокусного расстояния однозначно определяют , и . Но , и зависят от трех радиусов кривизны, следовательно, величину одного из них можно выбрать произвольно. Эта дополнительная степень свободы позволяет иногда уменьшить до минимума сферическую аберрацию.
Другой способ создании ахроматической системы состоит в использовании двух гонких линз, изготовленных из одинакового стекла (), и расположенных друг от друга на расстоянии, равном полусумме их фокусных расстояний, т. е.
(8)
Ахроматичность такой комбинации линз следует непосредственно из (5).
В приборе, состоящем на нескольких частей, в общем случае нельзя одновременно устранить хроматизм положения и хроматизм увеличения, если это не сделано для каждой его части. Докажем последнее утверждение для случая двух центрированных тонких линз, разнесенных на расстояние l .
Отображение тонкой линзой является центральной проекцией из ее центра; следовательно (рис. 4),
Рис.4. Ахроматизация системы из двух тонких линз
Поскольку , находим для увеличения
Если длина волны изменится, то величина останется той же, величина также будет прежней, если допустить отсутствие хроматизма положения. Следовательно, условие отсутствия хроматизма увеличения системы можно записать в виде
(11)
Так как , , то (11) удовлетворяется лишь при 
, т.е. если каждая из этих линз ахроматизирована.
2. Волновые и лучевые аберрации, функции аберраций
Рассмотрим вращательно-симметричную оптическую систему. Пусть , и , - точки пересечения луча, выходящего из точки предмета , соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плоскостью параксиального изображения. Если -параксиальное изображение точки то вектор называется аберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Лучевая аберрация
Пусть и - точки пересечения луча с опорной сферой и волновым фронтом Wсоответственно.
Рис. 2.2.Волновая и лучевая аберрации
Оптическую длину пути Ф = можно назвать аберрацией волнового элемента в точке Qили просто волновой аберрацией и считать положительной, если и , расположены по разные стороны от Q. В обычных приборах волновые аберрации достигают 40-50 длин волн, однако в приборах, используемых для более точных исследований (например, в астрономических телескопах или микроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.
Выражения для волновой аберрации легко получить с помощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.
Если пользоваться для обозначения оптической длины пути квадратными скобками , то
Здесь было использовано то обстоятельство, что точки
и
лежат на одном волновом фронте, т.е. 
.
Введем две прямоугольные системы координат со взаимно параллельными осями, начала которых находятся в осевых точках и плоскостей предмета и изображения, а оси Zсовпадают с осью системы. Точки в пространстве предмета будут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения - во второй. Z -координаты плоскостей, в которых лежат зрачки, обозначены через и , (на рис 2.1 ) .
Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную характеристику V следующим образом:
где () - координаты точки , и (X,Y,Z) - координаты точки Q. Координаты (X,Y,Z) уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим, что точка Qлежит на опорной сфере, т. е,
Координаты точки параксиального изображения, М - гауссово поперечное увеличение и R - радиус опорной сферы Гаусса
Величину Z в выражении (2) можно исключить с помощыо (3), в результате чего Ф стонет функцией только , , и , т. е,
Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций Ф (, ; X, Y ) простыми соотношениями. Из (2) имеем
(6)
Если , и - углы, которые образуют луч , с осями, а (X, Y, Z) и () - координаты точек и то, на рис. 2.2, получим
есть расстояние от до , и - показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3) имеем
(9)
Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевой аберрации
(10)
Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина
сама зависит от координат точки , т. е. от лучевых аберраций. Тем не менее для большинства практических целей можно заменять на радиус опорной сферы R
или на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Ф зависит от четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: , и 
.
В самом деле, если ввести в плоскостях XY полярные координаты, т. е. положить
то окажется, что Ф зависит только от , , и , или, что то же самое, Ф зависит от , , и 0. Предположим теперь, что оси X и Y систем с началами в и поворачивается на один и тот же угол и в одном и том же направлении относительно оси системы.
При этом , , не изменяются, а угол 0 увеличивается на угол поворота. Поскольку функции Ф инвариантна относительно таких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависит только от , , и . Следовательно, функции аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений
двух векторов и .
Отсюда вытекает, что при разложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени будут отсутствовать. Поскольку Ф (0, 0; 0, 0) = 0, то членов нулевой степени тоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречит тому, что , является параксиальным изображением точки . Таким образом, наше разложение имеет вид
где с - константа, а - полином степени 2k по координатам и содержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что член степени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшего порядка (2k = - 4) обычно называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
Для оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр . Этим параметром может служить любая величина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можно допустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы О(), где символ О() означает, что величина угла порядка .
Оценим погрешность, возникающую при замене в основном уравнении (10) на величины, не зависящие от и . Из (3) и (5) имеем
тогда вместо (8) можем написать
Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид
(16)
(17)
3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
Используя рассуждения, совершенно аналогичные тем, которые относились к функции аберраций, можно показать, что разложение в степенной ряд возмущенного эйконала Шварцшильда имеет в силу симметрии задачи следующий вид:
Где - полином степени 2 k по четырем переменным; более того, эти переменные входят только в трех комбинациях:
В соотношении (1) отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречило бы тому, что, , , и в приближении параксиальной оптики.
Поскольку переменные входят только в комбинациях (2), член должен иметь вид
где А, В,... - постоянные. Знаки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения для лучевых аберраций в этом случае принимают простой вид.
Конечно, разложение в степенной ряд функции имеет такой же вид, как и (1), но оно не содержит члена нулевого порядка (), и главный член отличается от тем, что в нем отсутствует слагаемое . Таким образом, общее выражение для волновой аберрации наинизшего (четвертого) порядка записывается следующим образом:
где В, С,. - те же коэффициенты, что и в (3).
Общее выражение для компонент лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде
(5)
Коэффициент А не входит в выражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшего порядка, характеризуемых пятью коэффициентами В, С, D, E и F. Как указывалось выше, эти аберрации называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
При исследовании аберраций Зайделя удобно выбрать оси таким образом, чтобы плоскость yz проходила через точку предмета; тогда . Если затем ввести полярные координаты
то (4) примет вид
В частном случае равенства нулю всех коэффициентов в (7) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок совпадает (в рассматриваемом приближении) с опорной сферой Гаусса (см. рис. 2.2). В общем случае эти коэффициенты отличны от нуля. Тогда каждый член в (7) описывает определенный тип отклонения мы нового фронта от правильной сферической формы; на рис. 3.1 показаны пять различных типов аберраций.
Важность лучевых аберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрировать графически с помощью так называемых аберрационных (или характеристических) кривых. Эти кривые являются геометрическим местом точек пересечения лучей, выходящих из фиксированной зоны =const выходного зрачка, с плоскостью изображения. Тогда поверхность, образованная аберрационными кривыми. соответствующими всем возможным значениям , представляет собой неидеальное изображение.
Рис.3.1 Первичные волновые аберрации.
А) сферическая. Б) кома. В) астигматизм. Г) кривизна поля. Д) дисторсия
Рассмотрим отдельно каждую из аберраций Зайделя
3.1 Сферическая аберрация ( )
Если все коэффициенты, за исключением В, равны нулю, то (8) принимает вид
Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположены в точке параксиального изображения, а радиусы пропорциональны третьей степени радиуса зоны , но не зависят от положения () предмета в зоне зрения. Такой дефект изображения называется сферической аберрацией.
|
Сферическая аберрация, будучи независимой от искажает как осевые, так и внеосевые точки изображения. Лучи, выходящие из осевой точки предмета и составляющие существенные углы с осью, пересекут её в точках, лежащих перед параксиальным фокусом или за ним (рис. 5.4). Точка, в которой пересекаются с осью лучи от края диафрагмы, назывался краевым фокусом. Если экран в области изображения помещен под прямым углом к оси, то существует такое положение экрана, при котором круглое пятно изображения на нем минимально; это минимальное «изображение» называется наименьшим кружком рассеяния.
3.2 Кома ( )
Аберрация, характеризующаяся отличным от нуля коэффициентом F, называется комой. Компоненты лучевой аберрации в этом случае имеют, согласно (8). вид
|
Как мы видим, при фиксированных и радиусе зоны точка , (см. рис. 2.1) при изменении от 0 до дважды описывает в плоскости изображения окружность. Радиус окружности равен , а её центр находится на расстоянии от параксиального фокуса в сторону отрицательных значений у . Следовательно, эта окружность касается двух прямых, проходящих через параксиальное изображение , и составляющих с осью у углы в 30°. Если прибегает все возможные значения, то совокупность подобных окружностей образует область, ограниченную отрезками этих прямых и дугой наибольшей аберрационной окружности (рис. 3.3). Размеры получающейся области линейно возрастают с увеличением расстояния точки предмета от оси системы. При выполнении условия синусов Аббе система дает резкое изображение элемента плоскости предмета, расположенного в непосредственной близости от оси. Следовательно, в этом случае разложение функции аберрации не может содержать члены, линейно зависящие от . Отсюда вытекает, что если условие синусов выполняется, первичная кома отсутствует.
3.3 Астигматизм ( ) и кривизна поля ( )
Аберрации, характеризующиеся коэффициентами С и D, удобнее рассматривать совместно. Если все остальные коэффициенты в (8) равны нулю, то
Чтобы продемонстрировать важность таких аберраций, предположим вначале, что пучок, формирующий изображение, очень узок. Согласно § 4.6 лучи такого пучка пересекают два коротких отрезка кривых, одна из которых (тангенциальная фокальная линия) ортогональна меридиональной плоскости, а другая (сагиттальная фокальная линия) лежит в этой плоскости. Рассмотрим теперь свет, исходящий от всех точек конечной области плоскости предмета. Фокальные линии в пространстве изображения перейдут в тангенциальную и сагиттальную фокальные поверхности. В первом приближении эти поверхности можно считать сферами. Пусть и - их радиусы, которые считаются положительными, если соответствующие центры кривизны расположены по ту сторону от плоскости изображения, откуда распространяется свет (в случае, изображенном на рис. 3.4. и ).
Радиусы кривизны можно выразить через коэффициенты С и D . Для этого при вычислении лучевых аберраций с учетом кривизны удобнее использовать обычные координаты, а не переменные Зайделя. Имеем (рис. 3.5)
(12)
где u - малое по величине расстояние между сагиттальной фокальной линией и плоскостью изображении. Если v - расстояние от этой фокальной линии до оси, то
если еще пренебречь и по сравнению с , то из (12) находим
(14)
Аналогично
(15)
Запишем теперь эти соотношения через переменные Зайделя. Подставляя в них (2.6) и (2.8), получим
(16)
и аналогично
(17)
В последних двух соотношениях можно заменить на и тогда, используя (11) и (6), получим
Величину 2С + D обычно называют тангенциальной кривизной поля , величину D - сагиттальной кривизной поля , а их полусумму
которая пропорциональна их среднему арифметическому значению,- просто кривизной поля .
Из (13) и (18) следует, что на высоте от оси расстояние между двумя фокальными поверхностями (т.е. астигматическая разность пучка, формирующего изображение) равно
(20)
Полуразность
(21)
называется астигматизмом . В отсутствие астигматизма (С = 0) имеем . Радиус R общей, совпадающей, фокальной поверхности можно в этом случае вычислить с помощью простой формулы, в которую входят радиусы кривизны отдельных поверхностей системы и показатели преломления всех сред.
3.4 Дисторсия ( )
Если в соотношениях (8) отличен от нуля лишь коэффициент Е , то
Поскольку сюда не входят координаты и , отображение получится стигматическим и не будет зависеть от радиуса выходного зрачка; однако расстояния точек изображения до оси не будут пропорциональны соответствующим расстояниям для точек предмета. Эта аберрация называется дисторсией.
При наличии такой аберрации изображение любой прямой в плоскости предмета, проходящей через ось, будет прямой линией, но изображение любой другой прямой будет искривленным. На рис. 3.6, а показан предмет в виде сетки прямых, параллельных осям х и у и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Рис. 3.6. б иллюстрирует так называемую бочкообразную дисторсию (Е>0 ), а рис. 3.6. в - подушкообразную дисторсию (Е<0 ).
Рис. 3.6. Дисторсия А) предмет. Б) бочкообразная. В) подушкообразная
Ранее указывалось, что из пяти аберраций Зайделя три (сферическая, кома и астигматизм) нарушают резкость изображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение и форму. В общем случае невозможно сконструировать систему, свободную как от всех первичных аберраций, так и от аберраций более высокого порядка; поэтому всегда приходится искать какое-то подходящее компромиссное решение, учитывающее их относительные величины. В некоторых случаях аберрации Зайделя можно существенно уменьшить за счет аберраций более высокого порядка. В других случаях необходимо полностью уничтожить некоторые аберрации, несмотря на то, что при этом появляются аберрации других типов. Например, в телескопах должна быть полностью устранена кома, потому что при наличии ее, изображение будет несимметричным и все прецизионные астрономические измерения положения потеряют смысл. С другой стороны, наличие некоторой кривизны поля идисторсии относительно безвредно, поскольку от них можно избавиться с помощью соответствующих вычислений.
оптический аберрация хроматический астигматизм дисторсия
Список литературы:
1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.3, оптика, атомная физика.
2. Ландсберг Г. С. Оптика.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики, т.4, оптика.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики
5. Физический энциклопедический словарь, под ред. А. М. Прохорова.
АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (от лат. aberratio - уклонение, удаление) - искажения изображений, даваемых реальными оптическими системами, заключающиеся в том, что оптические изображения неточно соответствуют предмету, оказываются размыты (монохроматическая геометрическая аберрация оптической системы) или окрашены (хроматическая аберрация оптической системы). В большинстве случаев аберрации обоих типов проявляются одновременно.
В приосевой, так называемой параксиальной, области (см. Параксиальный пучок лучей ) оптическая система близка к идеальной, т. е. точка изображается точкой, прямая линия - прямой и плоскость - плоскостью. Но при конечной ширине пучков и конечном удалении точки-источника от оптической оси нарушаются правила параксиальной оптики: лучи, испускаемые точкой предмета, пересекаются не в одной точке плоскости изображений, а образуют кружок рассеяния, т. е. изображение искажается - возникают аберрации.
Геометрические аберрации
Геометрические аберрации оптических систем характеризуют несовершенство оптических систем в монохроматичном свете. Происхождение аберраций оптических систем можно понять, рассмотрев прохождение лучей через центрированную оптическую систему L (рис. 1). - плоскость предмета, - плоскость изображений, и - соответственно плоскости входного и выходного зрачков.
В идеальной оптической системе все лучи,
испускаемые какой-либо точкой предмета, находящейся в меридиональной
плоскости на расстоянии от оси, пройдя через систему, собрались
бы снова в одну точку
. В реальной оптической системе эти лучи пересекают плоскость изображения
в разных точках. При этом координаты
точки В
пересечения луча с плоскостью изображения зависят от направления
луча и определяются координатами точки А
пересечения
с плоскостью входного зрачка. Отрезок
характеризует несовершенство изображения, даваемого данной оптической системой.
Проекции этого отрезка на оси координат равны
и и характеризуют
поперечную аберрацию. В заданной оптической системе
и являются функциями
координат падающего луча : 
и 
. Считая координаты
малыми, можно разложить эти функции в ряды по ,
и .
Линейные члены этих разложений соответствуют параксиальной оптике, следовательно коэффициенты при них должны быть равными нулю; чётные степени не войдут в разложение ввиду симметричности оптической системы; таким образом остаются нечётные степени, начиная с третьей; аберрации 5-го порядка (и выше) обычно не рассматривают, поэтому первичные аберрации оптической системы называют аберрациями 3-го порядка. После упрощений получаются следующие формулы.
(*)
Коэффициенты зависят от характеристик оптической системы (радиусов кривизны, расстояний между оптическими поверхностями, показателей преломления). Обычно классификацию аберраций оптических систем проводят, рассматривая каждое слагаемое в отдельности, полагая другие коэффициенты равными нулю. При этом для наглядности представления об аберрации рассматривают семейство лучей, исходящих из точки-объекта и пересекающих плоскость входного зрачка по окружности радиуса р с центром на оси. Ей соответствует определённая кривая в плоскости изображений, а семейству концентрических окружностей в плоскости входного зрачка радиусов и так далее соответствует семейство кривых в плоскости изображений. По расположению этих кривых можно судить о распределении освещённости в пятне рассеяния, вызываемом аберрацией.
Сферическая аберрация соответствует случаю, когда , а все другие коэффициенты равны нулю. Из выражения (*) следует, что эта аберрация не зависит от положения точки С в плоскости объекта, а зависит только от координаты точки А в плоскости входного зрачка, а именно, пропорциональна . Распределение освещённости в пятне рассеяния таково, что в центре получается острый максимум при быстром уменьшении освещённости к краю пятна. Сферическая аберрация - единственная геометрическая аберрация, остающаяся и в том случае, если точка-объект находится на главной оптической оси системы.
Кома определяется выражениями при коэффициенте В . Равномерно нанесённым на входном зрачке окружностям соответствуют в плоскости изображения семейства окружностей (рис. 2) с радиусами, увеличивающимися как , центры к-рых удаляются от параксиального изображения также пропорционально Огибающей этих окружностей (каустикой ) являются две прямые, составляющие угол 60°. Изображение точки при наличии комы имеет вид несимметричного пятна, освещённость которого максимальна у вершины фигуры рассеяния и вблизи каустики. Кома отсутствует на оси центрированных оптических систем.
И кривизна поля соответствуют случаю, когда не равны нулю коэффициенты С и D. Из выражения (*) следует, что эти аберрации пропорциональны квадрату удаления точки-объекта от оси и первой степени радиуса отверстия. Астигматизм обусловлен неодинаковой кривизной оптической поверхности в разных плоскостях сечения и проявляется в том, что волновой фронт деформируется при прохождении оптической системы, и фокус светового пучка в разных сечениях оказывается в разных точках. Фигура рассеяния представляет собой семейство эллипсов с равномерным распределением освещённости. Существуют две плоскости - меридиональная и перпендикулярная ей сагиттальная, в которых эллипсы превращаются в прямые отрезки. Центры кривизны в обоих сечениях называются фокусами, а расстояние между ними является мерой астигматизма.
Пучок параллельных лучей, падающих на оптическую систему под углом (рис. 3), в меридиональном сечении имеет фокус в точке m , а в сагиттальном - в точке s. С изменением угла положения фокусов m и s меняются, причём геометрические места этих точек представляют собой поверхность вращения MOM и SOS вокруг главной оси системы. На поверхности КОК , находящейся на равных расстояниях от MOM и SOS , искажение наименьшее, поэтому поверхность КОК называется поверхностью наилучшей фокусировки. Отклонение этой поверхности от плоскости представляет собой аберрацию, называемую кривизной поля. В оптической системе может отсутствовать астигматизм (например, если MOM и SOS совпадают), но кривизна поля остаётся: изображение будет резким на поверхности КОК , а в фокальной плоскости FF изображение точки будет иметь вид кружка.
Дисторсия
проявляется в случае, если ; как видно из формул (*), она может быть в меридиональной плоскости:
. Дисторсия не зависит от координат точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка
(поэтому каждая точка изображается точкой), но зависит от расстояния точки до оптической оси ,
поэтому изображение искажается, нарушается закон подобия. Например, изображение квадрата имеет вид подушкообразной и бочкообразной фигур (рис. 4)
соответственно в случае Е
>0 и Е
<0.
Труднее всего устранить сферическую аберрацию и кому. Уменьшая диафрагму, можно было бы практически полностью устранить обе эти аберрации, однако уменьшение диафрагмы уменьшает яркость изображения и увеличивает дифракционные ошибки.
Подбором линз устраняют дисторсию, астигматизм и кривизну поля изображения.
В этой статье со страшным названием мы разберемся в особенностях оптических искажений объективов. Вы замечали, что при съемке на широкоугольник у вас искажаются края кадра? А при попытках сделать кадр в контровом свете вокруг предметов появляется розовая, синяя или зеленоватая окантовка? Если не замечали, присмотритесь еще раз. А пока давайте разберемся, почему так происходит.
Для начала нужно понять и принять тот факт, что идеальных оптические систем (т.е. в нашем случае – объективов) не существует. Каждой оптической системе присущи искажения, которые она вносит в проекцию реальности на изображение (фотографию). Искажения оптических систем по-научому принято называть аберрациями , т.е. отклонениями от нормы или от идеала.
Аберрации различных оптических систем могут принимать разную форму и быть более заметными или практически не различимыми. Обычно чем дороже объектив, тем качественнее его оптическая система, а значит, тем меньше аберраций ей присуще.
Виды аберраций
Чаще всего само слово «аберрация» в фотографии применяется в сочетании «хроматические аберрации». Как вы уже могли догадаться, хроматические аберрации – это один из видов искажений, вызванных особенностями оптической системы объектива, который выражается в виде цветовых отклонений. Типичный пример хроматических аберраций – это нестественные цветные контуры на границах объектов съемки. Ярче всего хроматические аберрации проявляются на контурах в высококонтрастных участках изображения. Например, на границе веток деревьев, снятых на фоне яркого неба, или по контуру волос при съемке портрета в .
Причиной хроматических аберраций является такое оптическое явление как дисперсия стекла, из которого изготовлены линзы. Дисперсия стекла
заключается в том, что световые волны разной длины (разного цветового спектра) при прохождении через линзу преломляются под разными углами. Белый свет (который содержит в себе целый спектр световых волн разной длины, т.е. разного цвета), проходя через линзу объектива, сначала распадается на цветовой спектр, который затем снова собирается в пучок для проекции изображения на матрицу фотоаппарата. В результате из-за разницы углов преломления цветных лучей возникают отклонения при формировании изображения. Это выражается в погрешностях при распределении цвета на снимке. Именно поэтому на фотографии могут появиться цветные контуры, цветные пятна или полосы, которых не было на объекте съемки.
Хроматические аберрации
в той или иной степени присущи практически всем объективам. Дешевая оптика «хроматит» гораздо сильнее, чем объективы элитной серии. На этапе проектирования оптической системы производители могут минимизировать хроматические аберрации при помощи использования ахроматических линз. Секрет ахроматической линзы
в том, что ее конструкция состоит из двух сортов стекла: одно с низким, а другое с высоким коэффициентом преломления света. Подбор пропорции сочетания материалов с разными коэффициентами преломления света позволяет снизить отклонения световых волн в момент расщепления белого света.
Не стоит сильно расстраиваться, если ваш объектив не содержит ахроматических линз – хроматические аберрации возникают в основном при съемке в сложных условиях освещения, и сильно бросаются в глаза только при просмотре фотографии в 80-100% увеличении. К тому же, никто не отменял обработку в графических редакторах, которые позволяют свести на нет такие погрешности оптики. О том, как это сделать, читайте в следующей статье «Исправление погрешностей объектива» (публикация скоро).
К другому виду аберраций объектива относятся геометрические искажения, которые принято называть дисторсией объектива. Дисторсия объектива
проявляется в искажении пропорций объектов, расположенных ближе к краям кадра. Говоря научным языком, при дисторсии линейное увеличение объектов, находящихся в поле зрения, происходит неравномерно. В результате предметы по краям кадра выглядят неестественно сплюснутыми или вытянутыми.
По характеру искажений выделяют два вида дисторсии : положительная (вогнутая или подушкообразная) и отрицательная (выпуклая или бочкообразная). Если в кадре геометрических искажений не наблюдается, то говорят, что дисторсии нет. В этом случае изображение выглядит ровным и плоским, обратите внимание на идеально ровную линию горизонта на снимке ниже. Обычно именно по линии горизонта можно легко заметить геометрические искажения в пейзажной съемке.
Сильнее всего дисторсия проявляется при использовании . Причем, чем больше угол обзора объектива (чем меньше фокусное расстояние), тем сильнее проявляются геометрические аберрации
. Наверняка, вы замечали, что вертикальные и горизонтальные линии при съемке на ширик искривляются по мере приближения к краям кадра. Самый яркий пример дисторсии объектива
– это фотографии, снятые на сверхширокоугольный объектив «фишай» (рыбий глаз). Но в случае с фишаем дисторсия не является погрешностью или недостатком оптики. Скорее, это его особенность, которая позволяет расширить угол обзора объектива до 180 градусов (и даже больше).
При использовании широкоугольных объективов (ФР<24 мм) можно наблюдать бочкообразную (вогнутую) дисторсию, при использовании длиннофокусных объективов (ФР>200 мм) может появляться подушкообразная (выпуклая) дисторсия. Объективам со средними значениями фокусных расстояний обычно не свойственны геометрические искажения по полю кадра.
Именно поэтому говорят, что широкоугольный объектив искажает пропорции, а объективы с фокусным расстояние 70-200 мм сглаживают какие-либо искажения. И именно поэтому, портреты принято снимать на объективы 70-200 мм, которые не искажают пропорции лица и фигуры. А вот портреты, снятые на ширик, выглядят комично и используются только для создания специального карикатурного эффекта. При этом чем меньше расстояние между точкой съемки и объектом съемки, тем сильнее проявляются искажения пропорций. Например, как на известном портрете Билла Клинтона (фотография ниже) - голова выглядит непропорционально маленькой по сравнению с большими руками и коленями. Но в данном случае это как раз творческая задумка, авторский стиль фотографа. При помощи использования широкоугольного объектива он смог создать яркий зрительный образ - ассоциацию с персоной бывшего президента США.
Так же, как и хроматические аберрации, дисторсия
поддается исправлению при конструировании объектива. Для этого в оптическую систему встраивается асферическая линза
, а объективы с исправленной дисторсией называют асферическими
. Вы могли видеть такие названия (ASP) в описании технических характеристик к объективу. Такие объективы обычно стоят дороже сферических аналогов, но при съемке передают пропорции объектов в кадре без искажений. Однако есть относительно не дорогой объектив Sigma 10-20 mm F4-5.6 EX DC HSM, который дает ровную картинку даже при максимальном угле обзора 102 градуса.
Если ваш объектив на широком угле дает геометрические аберрации , то есть два способа это исправить:
- Если вы используете зум-объектив, можно просто выставить большее фокусное расстояния и сделать пару шагов назад. Так, у вас в кадре окажется та же композиция, но за счет изменения фокусного расстояния вы избавитесь от искажений.
- Исправить геометрические аберрации позволяют средства графических редакторов (прежде всего, Photoshop). Но при этом будьте готовы потерять часть объектов на фотографии, потому что при исправлении искривлений происходит обрезка по краям кадра. О том, как это сделать, читайте в следующей статье.
