Задача С2

Плоская ферма, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точках А и В , причём в одной из них шарнирно-неподвижно, а в другой опирается на подвижный шарнир (рис. 0 – 9). К ферме приложена наклонная сила , для которой модуль и угол указаны в таблице С2, горизонтальная сила и вертикальная ; в расчётах принять Q = 5 кН, Р = 20 кН, a =3 м.

Определить опорные реакции в точках А и В , усилия в стержнях 1, 2, 3, 4 методом вырезания узлов, а в стержнях 5, 6, 7 – методом сквозных сечений (Риттера).

Указания. Задача С2 – на расчёт плоской фермы, который сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики из 3-х уравнений равновесия, рассматривая ферму в целом как твёрдое тело.

При определении усилий в стержнях методом вырезания узлов мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы, реакции самих стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу: , . Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получен ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двух.

Методом Риттера удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчётов. Для определения усилия в каком-нибудь стержне ферму рассекают на две части сечением, проходящем через три стержня, в том числе и через тот, в котором определяется усилие. Одну из частей вместе с приложенными к ней силами мысленно отбрасывают, а её действие заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней в сторону отброшенной части. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассечённых стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение суммы проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

Пример С2. Схема фермы, все действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С2.1.

Дано: Р =10 кН, F =30 кН.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов, 5 – 7 – методом сквозных сечений.

Решение. При определении опорных реакций ферма рассматривается как твёрдое тело. Опоры в узлах А и В мысленно отбрасываются и заменяются соответствующими реакциями: составляющие в узле А , в узле В (рис. С2.2).

Составляются три уравнения равновесия:

Из первого уравнения Х А = 5 кН, из третьего кН, из второго кН; знак «–» показывает, что истинное направление противоположно изображённому на рис. С2.2.

Проверка:

При определении усилий в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов сначала мысленно вырезается узел D (в нём сходятся два стержня, усилия в которых неизвестны), и изображаются все приложенные к нему силы и реакции (рис. С2.3).

Рис. С2.3 Рис. С2.4

По геометрическим размерам фермы (рис. С.2.5) , следовательно, , . Уравнения равновесия имеют вид

кН.

кН.

Затем вырезается узел А (рис. С2.4), здесь неизвестны усилия ;

При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями , которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).

Для определения составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L ).

Для определения составляется уравнение моментов относительно точки N .

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования « БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра строительной механики

Д. В. Леоненко

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей

Одобрено методической комиссией факультета ПГС

Гомель ■ 2006

ÓÄÊ 539.3 (075.8) ÁÁÊ 38.112

Р е ц е н з е н т – кандидат технических наук В. В. Талецкий (УО «БелГУТ»)

Леоненко, Д. В.

Л47 Расчет плоских ферм: учебно-метод. пособие для студентов строительных специальностей / Д. В. Леоненко. – Гомель: УО «БелГУТ», 2006. – 57 с.

ISBN 985-468-075-4

Изложены краткие теоретические сведения о расчете ферм на стати- ческую подвижную и неподвижные нагрузки. Рассмотрены способы определения усилий в фермах. Приведены подробные примеры решения типовых задач.

Пособие соответствует действующей в настоящее время программе по строительной механике. Предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения.

ÓÄÊ 539.3 (075.8) ÁÁÊ 38.112

ISBN 985-468-075-4

© Леоненко Д. В., 2006

© Оформление. УО «БелГУТ», 2006

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 1.1 Понятие о ферме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Классификация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Кинематический анализ ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Расчет ферм на неподвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Анализ напряженного состояния ферм

при неподвижной вертикальной нагрузке. . . . . . . . . . . . 19 1.6 Расчет ферм на подвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 Определение усилий по линиям влияния. . . . . . . . . . . . 27 1.8 Понятие о шпренгельных фермах. . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.9 Кинематический метод построения линий влияния. . . . . 31

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1 Расчет ферм способом вырезания узлов. . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Расчет ферм способом сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Расчет ферм на подвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Расчет шпренгельных ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Понятие о ферме

Стержневая система с жестким или шарнирным соединением прямолинейных элементов в узлах, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными, называется фермой (рисунок 1.1,à ).

Сфера применения ферм весьма разнообразна: перекрытия зданий большого пролета, мосты, телевизионные башни и др. Рациональность этих конструкций обусловила их широкое распространение в настоящее время.

Расчетная схема фермы. В реальных фермах стержни соединены между собой жестко. При расчетах всегда принимают, что все узлы представляют собой идеальные шарниры, а нагрузки че- рез систему вспомогательных конструкций передаются в узлы ферм (рисунок 1.1, á ,â ).

шарнирном

элементов

моменты в

стержнях равны нулю. В этом

случае элементы фермы рабо-

центральное

растяжение,

напряжения

q во всех точках поперечного

одинаковы.

позволяет

рационально

использовать материал и по-

â )qà

по сравнению с бал-

ками. Поэтому при проекти-

большепролетных

конструкций

предпочтение,

Рисунок 1.1

как правило, отдают фермам.

В жестких узлах фермы возникает незначительный изгиб отдельных элементов, но напряжения от изгиба по сравнению с напряжениями от осевой силы малы, поэтому ими пренебрегают. В то же время в ряде случаев (например, в железобетонных фермах)

расчет осуществляется с учетом жесткости узлов, так как при игнорировании влияния изгибающих моментов возможны существенные погрешности в определении напряженного состояния массивных элементов. При этом ферма по характеру работы приближается к рамным конструкциям.

 действительности же нагрузки приложены не только к узлам, но и к отдельным стержням, т. е. расчетные схемы ферм значительно отличаются от реальных конструкций. Однако и в этом случае к ним применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема.

Идеализация расчетных схем, давая возможность упростить расчеты, незначительно сказывается на их точности. Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментально.

 некоторых случаях, особенно при реконструкции существующих сооружений, может оказаться, что кроме узловой неизбежна внеузловая нагрузка. В этом случае стержни, воспринимающие внеузловую нагрузку, будут испытывать изгиб с растяжением или сжатием. Эти стержни отдельно рассчитывают на местную изгибную нагрузку.

Основные элементы фермы. Расстояние между осями опор фермы (рисунок 1.2) называется пролетом. Стержни, располо-

женные по внешнему контуру фермы, называются поясными и образуют пояса. Совокупность стержней фермы между нижним и верхним ее поясами называетсярешеткой. Решетка, как правило, состоит из вертикальных (стоек ) и наклонных (раскосов ) стержней.

Если мысленно двигаться вдоль раскосов от опор фермы к середине, то по одним раскосам придется идти вниз, «нисходить», по другим – вверх, «восходить». В соответствии с этим раскосы подразделяют на нисходящие èвосходящие .

Раскосы восходящие

Верхний пояс

Раскосы нисходящие

Нижний пояс

Рисунок 1.2

Часть фермы, расположенная между смежными узлами пояса, называется панелью , а расстояние между этими узлами пояса – длиной панели, наибольшее расстояние между поясами –высотой фермы.

Практика проектирования показывает, что оптимальные фермы получаются при соотношении размеров высоты к пролету примерно 1/ 8 ... 1/ 10.

1.2 Классификация

Фермы классифицируют по нескольким признакам.

В зависимости от характера структуры фермы разделяют на плоские и пространственные. Если все элементы ферм лежат в одной плоскости, их называют плоскими .Пространственными называют фермы, у которых оси всех стержней, включая опорные, не лежат в одной плоскости. Далее будем рассматривать только плоские фермы.

По назначению фермы подразделяют:

на фермы пролетных строений мостов (рисунок 1.3, à ); стропильные, используемые в качестве несущих конструкций покрытий промышленных и гражданских зданий (рисунок 1.3,á ), а также подкрановые фермы; фермы башенных (рисунок 1.3,â ), автомобильных и других кранов;

фермы-мачты линий электропередачи (рисунок 1.3,ã ) è äð.

Рисунок 1.3

По очертанию поясов фермы делят (рисунок 1.4): на фермы с параллельными поясами; треугольные фермы; трапецеидальные фермы;

фермы с криволинейными поясами (полигональные).

У полигональных ферм негоризонтальными могут быть как один, так и оба пояса. Узлы в верхнем и нижнем поясах обычно располагаются по какой-либо кривой – параболической, эллипти- ческой, коробовой или окружности. Стержни таких поясов прямолинейны и являются хордами кривой, на которой располагаются узлы.

Треугольные фермы				Фермы с криволинейными поясами
						(полигональные)

Рисунок 1.4

По типу решетки фермы подразделяют на фермы с простой

è сложной решетками.

Ê фермам с простой решеткой (рисунок 1.5) относят:

фермы с раскосной решеткой, которая представляет собой непрерывный зигзаг с попеременно чередующимися раскосами и стойками;

фермы с треугольной решеткой, которая образована только одними раскосами с чередующимся наклоном. К этому же классу принадлежат фермы с треугольной решеткой и дополнительными стойками;

фермы с полураскосной решеткой. Решетки таких ферм образованы путем замены раскосов на полураскосы. В каждой панели имеются два разных по направлению раскоса, идущих к стойке.

Фермы с раскосной решеткой					Ферма с треугольной решеткой

Ферма с треугольной решеткой и дополнительными стойками

Ферма с полураскосной решеткой

Рисунок 1.5

Сложными решетками называются такие, которые получаются наложением друг на друга двух и более простых решеток. Фермы с такими решетками (рисунок 1.6) подразделяют:

на фермы с двухраскосной решеткой. Через каждую панель (кроме крайних) этой фермы проходят два раскоса одинакового направления;

двухрешетчатые и многорешетчатые фермы;

шпренгельные фермы. Их решетка образуется введением в

обычную решетку дополнительных элементов - шпренгелей. Шпренгели воспринимают местную нагрузку, приложенную вне узлов основной фермы. Они уменьшают длину панелей сжатых поясов, в результате чего повышается устойчивость сжатых стержней.

Ферма с двухраскосной решеткой

Двухрешетчатая ферма

Шпренгельные фермы

Многорешетчатая ферма

Рисунок 1.6

По направлению опорных реакций различают безраспорные и распорные фермы.

В опорах безраспорных ферм при действии на них вертикальной нагрузки возникают только вертикальные опорные реакции. Горизонтальная составляющая опорных реакций (распор) в шар- нирно-неподвижной опоре равна нулю.

Безраспорные фермы (рисунок 1.7) в зависимости от расположения опор подразделяются на балочные, консольно-балочные (фермы на двух опорах), а также фермы-консоли, один конец которых оперт, другой свободен.

Заметим, что одна и та же по структуре ферма, но с разными опорами может относиться к различным классам. Так, ферма, изображенная на рисунке 1.9, à , является распорной, а на рисунке 1.9,á – безраспорной.

Рисунок 1.9

В зависимости от уровня езды мостовые фермы делятся на фермы с ездой понизу, фермы с ездой поверху и фермы с ездой посередине (рисунок 1.10).

Ферма с ездой понизу

Ферма с ездой поверху

Ферма с ездой посередине

Рисунок 1.10

Рассмотренная классификация не является исчерпывающей. В ней указаны наиболее типичные расчетные схемы плоских ферм, которые применяются в практике строительства.

1.3 Кинематический анализ ферм

Всякая ферма, применяемая в строительстве, должна проектироваться так, чтобы она была геометрически неизменяема èнеподвижно прикреплена к земле . Чтобы убедиться в неизменяемости фермы, проводят кинематический анализ. При этом основными понятиями являются диск – неизменяемый элемент сооружения и число степеней свободыW – число независимых геометрических параметров, определяющих положение диска или сооружения на плоскости.

Кинематический анализ состоит из следующих этапов:

à ) определение числа степеней свободыW системы и проверка необходимого аналитического условия неизменяемости;

á ) структурный анализ сооружения и проверка достаточного условия неизменяемости.

Диски и способы их соединения. Простейшим диском является шарнирный треугольник. Присоединяя к нему узлы с помощью двух стержней, оси которых не лежат на одной прямой,

Фермой называется геометрически неизменная шарнирно-стержневая конструкция.
Ферма называется плоской, если все стержни фермы лежат в одной плоскости.
Определенность или устойчивость фермы отображает зависимость количества узлов и стержней фермы:
Ферма определена, устойчивая
K = 2N - 3 ;
Ферма является неопределенной, имеет лишние стержни
K > 2N - 3 ;
Ферма неустойчивая и является механизмом
K < 2N - 3 .
При расчете фермы трением в узлах и весом стрежней пренебрегают, или распределяют вес стержней по узлам.
Все внешние нагрузки (силы) к ферме прикладывают только в узлах, поэтому все стержни фермы испытывают или сжатие, или растяжение.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.
Для определения реакций опор составляют и решают три уравнение равновесия, считая ферму абсолютно твердым телом под действием известных внешних нагрузок (активных сил) и неизвестных реакций опор (реактивных сил).
Для определения усилий в стержнях ферм существует 2 метода.

Метод вырезания узлов
Метод вырезывания узлов заключается в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывая к ним соответствующие внешние силы, реакций опор и реакции стрежней, и составляют уравнение равновесия сил, приложенных к каждому узлу.
Вырезается узел с 2-мя неизвестными усилиями, так как в каждом узле составляется сходящаяся система сил, соответственно, составляют два уравнение равновесия
Условно допускают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов.

Метод Риттера
Метод Риттера заключается в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стрежня, в которых нужно определить усилия, и рассматривают равновесие одной из частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, которые направляют вдоль разрезанных стержней от узлов.
Потом составляют уравнение равновесия для плоской произвольной системы сил
Точка Риттера (центр моментов) – это такая точка для каждого с трех рассеченных стрежней, в которой пересекаются два других стержня данного сечения, например точка К – точка Риттера для определения усилия в стержне 6.
Относительно точки Риттера составляют уравнение суммы моментов выбранной части фермы.
В случае, если стержни не имеют точки пересечения, т.е. являются параллельными, составляется уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил выбранной части фермы на ось, перпендикулярную этим стержням.

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены нагрузки. [1 ]

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены две вертикальные нагрузки Р и две наклонные - Q и F. Размеры даны в метрах. [2 ]

Плоские фермы, имеющие три связи с фундаментом и отвечающие условиям жесткого закрепления, называются внешне статически определимыми. Если отбросить опорные связи и заменить их действие силами, равными по значению усилиям, возникающим в этих связях при действии внешней нагрузки, то равновесие фермы не нарушится и мы получим ферму, находящуюся в равновесии под действием внешних сил и трех неизвестных усилий в отброшенных связях - так называемых реакций связей. [3 ]

Плоские фермы, образованные добавлением к базовому треугольнику 1 - 2 - 3 (рис. 3.16) каждого из последующих треугольников присоединением двух не лежащих на одной прямой стержней и одного узла, называются простыми фермами. Они обладают свойством геометрической неизменяемости, и для них условие (3.29) оказывается необходимым и достаточным. [4 ]

Плоская ферма, показанная на рисунке, имеет в узлах шарниры без трения и опирается в А и С. Стержни АВ, ВС, DE имеют одну и ту же длину и абсолютно жестки. Четыре наклонных элемента одинаковы как по длине, так и по упругим свойствам. [5 ]

Плоская ферма, имеющая форму правильного многоугольника с Af сторонами, связана радиальными стержнями. Радиальные стержни соединяют центр с каждым из узлов. [6 ]

Сквозная плоская ферма имеет малую горизонтальную жесткость из плоскости и поэтому приобретает устойчивость только в пространственно-жестком блоке с другой фермой. [7 ]

Плоские фермы конструкций стальных опор линий электропередачи, как правило, являются простейшими фермами или образованными наложением двух простейших ферм друг на друга. [8 ]

Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма ABC, изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм. [9 ]

Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней. [10 ]

Стержневой плоской фермой называется система, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом в определенной последовательности шарнирами, расположенными по концам стержней. При соединении стержней такими шарнирами и воздействии нагрузок, приложенных в узлах, в стержнях возникают только осевые усилия - растягивающие или сжимающие. [11 ]

Стержни плоской фермы, расположенные по ее верхнему контуру, называются верхним поясом, расположенные по нижнему контуру-нижним поясом. [12 ]

Для плоских ферм Л С - 2У 3, если ферма прикрепленная, и Л С - 2У, если ферма свободная. [13 ]

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. § 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов связаны соотношением

В самом деле, в жестком треугольнике, образованном из трех стержней, будет три узла (см., например, ниже на рис. 74 треугольник ABD, образованный стержнями 1, 2, Н). Присоединение каждого следующего узла требует два стержня (например, на рис. 74 узел С присоединен стержнями 4, 5, узел Е - стержнями 6, 7, и т. д.); следовательно, для всех остальных узлов потребуется стержней. В результате число стержней в ферме При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики (см. § 17), рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определению усилий в стержнях.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов.

Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рассмотрим изображенную на рис. 73, а ферму, образованную из одинаковы» равнобедренных прямоугольных треугольников, действующие на ферму силы параллельны оси и численно равны:

В этой ферме число узлов а число стержней Следовательно, соотношение (38) выполняется и ферма является жесткой без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия (29) для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны.

Переходим к определению усилий в стержнях. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни - арабскими. Искомые усилия обозначим S, (в стержне ), (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая все стержни растянутыми (рис. 73, а; изображенную картину надо представить себе для каждого узла так, как это показано на рис. 73, б для узла III). Если в результате расчета значение усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательным, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, на рис. 73 не вводим, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно вдоль стержня 2 - равны и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия (12):

Начинаем с узла где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла получим:

Отсюда находим:

Теперь, зная переходим к узлу II. Для него уравнения равновесия дают откуда

Определив составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

Наконец, для вычисления составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось Получим откуда

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как проверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении (см § 181.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержии сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную упомянутым двум стержням. Например, в ферме, изображенной на рис 74, при отсутствии силы РА нулевым будет стержень 15, а следовательно, и 13. При наличии же силы один из этих стержней нулевым не является.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия в форме (31) или (30), беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т.п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами.

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами.

Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней пренебрегают. Стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней m и число узлов n связаны соотношением

m = 2n -3.

Если m> 2n- 3, то ферма статически неопределимая;

если m< 2m- 3, конструкция перестает быть геометрически неизменяемой, получает подвижность (становится механизмом).

Расчет ферм сводится к определению опорных реакция и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции находят обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело.

Усилия в стержнях можно определить двумя методами.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом узле.

При решении задач методом вырезания узлов рекомендуется такая последовательность действий:

2. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и, рассматривая его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции из двух уравнений проекций сил, приложенных к узлу, на декартовы оси координат;

3. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла; при этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях.

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно воспользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми. Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

1. Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматривая её как твердое тело;

2. Разрезать мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы, на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало трех, и заменить действие отброшенной части искомыми усилиями стержней, полагая, все стержни растянутыми;

3. Составить уравнения равновесия для части фермы так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие. Для этого нужно составить уравнение моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий; или, если два стержня параллельны, то можно составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную этим стержням, в которое также войдет одно неизвестное усилие;

4. Решая каждое из составленных уравнений, найти искомые усилия в стержнях; если в ответе получается знак «минус», то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

ЗАДАЧА С2

Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также усилия в стержнях методом вырезания узлов и методом сечений. Схемы ферм показаны на рис. С2.0 – С2.2. Необходимые для расчета данные приведены в табл. С2.

Таблица С2

Силы				h 1 , м	h 2 , м	Номера стержней
Номерусловия	Р 1 = 5кН	Р 2 = 10 кН	Р 3 = 15 кН
Точка приложения силы
	К	С	М			4, 5, 6
	Е	М	С			8, 9, 10
	К	С	М			4, 5, 6
	Е	М	С			8, 9, 10
	К	С	М			4, 5, 6
	Е	М	С			8, 9, 10
	К	С	М			4, 5, 6
	Е	М	С			8, 9, 10
	К	С	М			4, 5, 6
	Е	М	С			8, 9, 10

Пример С2. Для фермы, изображенной на рис. С2, определить реакции опор, а также усилия в стержнях 4, 5 6 методом вырезания узлов и методом сечений, если Р 1 = 5 кН , Р 2 = 10 кН , Р 3 = 15 кН , h 1 = h 2 = 3 м.